用余切联合定理证明第17届XMO几何题

余切联合定理：

在中，点在边上，且，．则

证明：

过作于点，不妨设，，．于是，，．只需证明：

显然成立，证毕．

注：

点可在延长线上，此时为有向线段之比．

下面我们用余切联合定理来证明第17届XMO的几何题．

题目：

如图，圆内接四边形中，与不平行，与不平行．设与交于点，的平分线分别交、于点、，的平分线分别交、于点、．点满足，．点满足，．
求证：、、三点共线．

分析：

本题无论是圆，还是角平分线、垂线的条件，都与角度关系很大，所以首选导角．

先设出几个基本角度．对于角平分线，其出现在相似的和中，因此设，为两个基本角度比较合适，由此也能表示出和，从而用上垂直条件．角平分线同理．

再考虑如何证明三点共线，仍然考虑导角进行证明．“对顶角”相等、“邻补角“互补等是常用方法．在本题中，注意到角平分线的垂直，可以通过来证明三点共线．而这两个角则可以很方便地用余切联合定理表示．

此外，在证明过程中，可以发现和均为等腰三角形，从而大大简化计算．

证明：

引理：在中，，点在边上．则

即为余切联合定理对于等腰三角形的特殊情况，证明略．

回到原题．设，，，．

则

同理．

由，且角平分线和为相似对应线段知：

在中，由引理知：

同理

于是

即，从而三点共线，证毕．