广州零模填空压轴数学期望的简单求法

最大数为2n，只需考虑另一组的最大数。即求从1～2n-1中随机取n个数，最大数的数学期望（再用2n减去这个结果就行）。

考虑更一般的问题：

从1～m中随机取n个数，求最大数的数学期望。

把1～m按从左到右顺序排列好，从中取出n个数，那么剩下的数被空位分隔为了n+1段，长度之和为m-n，由对称性（这个比较熟知，可以思考一下为什么每一段具有对称性），每一段长度l_k的数学期望相等，均为(m-n)/(n+1).

取出的最大数为n+l_1+…+l_n，其数学期望为n+n*(m-n)/(n+1)=n(m+1)/(n+1).

取m=2n-1，本题答案为：2n-n*2n/(n+1)=2n/(n+1).

注：对称性的简单解释如下

等价于将m+1个数排成一圈，去掉n+1个数（其中一个数作为首尾的分界，其余n个数为上面的数），剩余m-n个数。本问题与上面的问题是等价的，但对称性显而易见。