高考强基

2026年北京大学强基计划数学试题及简解

2026 年北京大学强基计划数学试题及简解。原文附有试题 PDF

深圳中学填空压轴的三角不等式，计算量并不大

题目：在 △ ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a^2+2b^2=4c^2，则 f=2/(sin^2A)+1/(sin^2B) 的最小值为＿＿＿． 答案：18/5 …

能猜到答案，过程就不难写

睡前看到一道高考模拟题：夜宵题| 主元法解决一道简洁有趣味的不等式 口算了一下，写了个简单明了的过程。（这类题目往往代几组边界值猜答案，再用范围凑个局部就能做出来）

中科大创新科学营第一阶段数学历年真题

考试时间为100分钟，每题20分，满分100分。每年考试的题目风格比较接近，入围的同学可以在考前做做下面的真题。其中24、25两年为创新科学营，22、23两年为改革前的考试方案（即初试），但题目风格一致，…

青岛高三开学考压轴题？广东预赛加试题！

这是前两天青岛高三开学考的第18题：我们只看最后一小问，上一小问求出 a=1-2ln 2 ．于是题目如下：x_1,x_2,x_3,x_4,x_5≥ 0，…

用线性幂差引理解2025年清华强基立体几何题

题目：正三棱锥 S-ABC 中，底边长为 4，SA,SB,SC 的中点分别为 A',B',C'，A'B' 的中点为 D，三棱锥 S-ABC' 的外接球球心为 O，…

2025年新高考1卷压轴题的不求导优雅解法

题目：若存在实数 φ，使得对任意实数 x，都有 5cos x-cos(5x+φ)≤ b. 求 b 的最小值． 解答：一方面，不妨设 φ∈[0,2π) ．取 x=(π-φ)/6∈(-(π)/6,(π)/6]，…

高考经典极值点偏移问题另证——2021年新高考1卷第22题

大湾区二模第11题解答之矩生成函数（MGF）

今天的大湾区二模第11题是一道新定义题目，如下：注 这里的 M_X(t) 为随机变量 X 的矩生成函数（Moment Generating Function，MGF），…

温州二模多选压轴之尼姆博弈

一、游戏规则与直觉探索 假设你和朋友玩这样一个游戏：桌上有若干堆石子，两人轮流从任意一堆拿走至少一个石子，无法操作的人判负。…

昨天题目的解答

随手改编的一道新高考19题

这是今晚上课讲的一道竞赛真题，回家之后随手改编了一下，（1）（2）两问给了（3）一定的提示，所以整体难度下降不少

收集优质新高考19题

上一篇文章发出之后，很多读者在留言区讨论，也有更多读者在后台发题问我（偶尔看到会解答，但更多情况是在上课注意不到）。这里发一篇文章专门用来收集新高考19题，希望能够帮到参加高考的同学。…

听说这道高考模拟题有二试难度？

（题源：2025届广东省二调） 在朋友圈看到有老师说：本题的第3小问如果改成求充要条件，有高联二试的难度。不过这个是我给学生讲一试的一个题目时，都会讲到的推广。所以我认为难度也就在一试第10题左右吧。…

2025年大湾区数学一模多选压轴

这是前两天刚考的大湾区数学一模多选压轴题，其中ABC选项比较常规，不少同学对D选项有困惑，这里写一个解答． （很多同学在考场上判断出A正确，BC错误后，也能选出正确答案AD，…

广州零模填空压轴数学期望的简单求法

最大数为2n，只需考虑另一组的最大数。即求从1～2n 1中随机取n个数，最大数的数学期望（再用2n减去这个结果就行）。考虑更一般的问题：从1～m中随机取n个数，求最大数的数学期望。…

2024年北大金秋营第2题不等式的证明

简单的问题，熟悉最后那个恒等式就很好做了（用复数的模长易证）．不过都4202年了还在考三元不等式，难以评价…

两行解答南京大学强基计划一题及类似一题

题目1：（2024年南京大学强基计划） 二次函数 f(x)=ax^2+bx+c，b>a，a,b,c，∀ x，有 f(x)≥ 0 ．求 (b-a)/(a+b+c) 的最大值． 解答：由 f(-2)=4a-2b+c≥ 0 …

2024年北京高考压轴题分析

今年北京高考数学试卷最后一题如下（第三问回忆版，这里对部分字母做了修改）：设集合 M={(i,j,k,l)| i∈{1,2},j∈{3,4},k∈{5,6},l∈{7,8},2| i+j+k+l}. 对给定正整数数列 …

一道适合竞赛生做的新高考第19题

直接看第（3）问，即求 2× n 矩阵中每行、每列元素之和中，绝对值最小的那个的最大值． 首先是对于绝对值的处理，结合和为 0 的条件，常用方法是正负分离． 另一个典型例子是1989年的高联题，…

2024年中科大少创班科学营第二阶段数学试题

2024年4月20日上午 9:00—10:00播放学习视频 10:00—11:30测试 解答题（共5题，每小题20分，计100分） 在 n 维数组空间 R^n 中，…

用代数方法证明深圳中学二轮二阶压轴题

附参考答案：深圳中学2024届高三二轮二阶测试压轴题如下：已知曲线 y=ln x+a （a）和圆 O:x^2+y^2=r^2 （r，r>0）相交于 A,B 两个不同点，…

用向量外积证明九省联考第18题中的面积结论

这次九省联考的第18题（2），可以转化面积后快速做出，核心在于证明三角形 GMN 面积为四边形 ADBE 面积的 1/4 ． 这里用向量外积给出一个简洁且本质的证明． 首先简单回顾一下向量外积的定义和性质：对向量 a …

九省联考第14题的最简单做法

题目：以 max M 表示数集 M 中最大的数．设 0< a< b< c< 1，已知 b≥ 2a 或 a+b≤ 1，则 max{b-a,c-b,1-c} 的最小值为＿＿＿． 解答：（1） b≥ 2a 时，…

2024年北大物理卓越计划第三题解答

题目：已知函数 f(x)=x^3+ax 有且只有一个内接正方形，求 a 与正方形的边长． 这题与2021年公众号上发布的 数学竞赛每日一练第21期 的题目基本一致． 但需要证明的是：若有且只有一个内接正方形，…

一道2023年北大强基离散最值问题的解答

正整数 x_1,x_2,…,x_9 满足：x_1< x_2< …< x_9；x_1+x_2+…+x_9=220 ． 当 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 取得最大值时，求 x_9-x_1 的最大值． 这是一道陈题，…

2023年中科大创新班初试数学试题解答

复数 z 满足 z^2023-z-1=0，求证：|z|≤ 1 当且仅当 (z)≤-1/2 ． 证明：由题意知：z^2023=z+1，…

2016年浙江高考第8题的分析

昨天宋老师分享了2016年的浙江高考的第8题，这里分享一下我的做法． 已知实数 a，b，c ． A 若 |a^2+b+c|+|a+b^2+c|≤ 1，…

四省联考第16题分析

昨天的四省联考题目在网上引起了热议。引用韩涛老师在朋友圈发的一段话进行总结：刚考完的高三四省联考，哀鸿遍野。主要是这是教育部考试中心直接命题，看来命题的确朝着我之前预测的方向进行。…

北京大学2023年“物理学科卓越人才培养计划”数学试题解答

已知 n 个整数 x_1，x_2，…，x_n 使 x_1^3+x_2^3+…+x_n^3=2008，求 n 的最小值． 解答：2008 不为完全立方数，故 n≠ 1 ． 若 n=2，则存在整数 a，b，…

2022年清华大学大中衔接试题及个人思考

求所有的整数 x，使得 x^8≡ 1661 ． 是否存在首一整系数多项式 f(x) , g(x)，满足 f(x)g(x)-(x^5-x+1) 的系数均为 5 的倍数？至少进行多少次相邻两数位置互换的操作，…

2022年高考数学全国乙卷部分试题评析

第4题 分析 本题背景为连分数，考试时只需代入特殊值 α_i=1 即可得到：b_1=2，b_2=3/2，b_3=5/3，b_4=8/5，… （斐波那契数列相邻两项之比）．由此容易得到答案为D． 实际上，…

2022年西交大少年班数学试题（回忆版）

已知 1/(x^4)-1/(x^2)=3，y^4+y^2=3，则 1/(x^4)+y^4 的值为＿＿＿． 已知点 P(4,-3)，A 为 x 轴上的一动点，AB 为切线，已知圆 P 半径为 1，…

北京大学2022年寒假学堂数学试题（理科）

一共20道单项选择题，时间为1小时。已知 A={(x,y)| x+y+1≥ √(2(x^2+y^2))}，B={(x,y)| |x-a|+|y-1|≤ 1}，A∩ B=∅，…

2021年北大夏令营试题（文字版）

试题来源：小猿高中数学竞赛公众号 第一天 a_1，a_2，a_3，a_4，k 是两两不同的正整数，且不小于 80，求 (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2-4k^2)k^2 的最小值． 在 △ ABC 中，…

Mason-Stothers定理解一道中科大强基中的多项式题勘误

2021年中国科技大学的最后一题如下：题目 f(x)，g(x)，h(x) 为实系数非常数多项式，且两两互素．若 (f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，…

一道清华强基不等式问题的解答和推广

2021年清华大学强基考试的第7题如下：题目1 已知 a,b,c≥ 0，a+b+c=1，求 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 的最大值． …

Mason-Stothers定理解一道中科大强基试题

2021年中国科技大学的最后一题如下：题目 f(x)，g(x)，h(x) 为实系数多项式，且两两互素．若 (f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，…