用线性幂差引理解2025年清华强基立体几何题

题目：

正三棱锥中，底边长为，的中点分别为，的中点为，三棱锥的外接球球心为，．则三棱锥的体积为_________．

分析：

只需求建立等量关系，求出侧棱长即可．

核心条件为，注意是球心，这使我们想到球幂定理，而结合为中点，可以考虑使用线性幂差引理（易证对球也成立）．

解答：

记分别为点对球和点球的球幂，则关于是线性的．

设，球的半径为，则

即

于是，即．