9. Srinivasan的证明

由Goldbach和Schorn的证明可知，如果存在无穷多个两两互素的正整数，则可由此证明存在无穷多个素数．

引理 如果在数列中，对于任意正整数，都有且．则容易知道数列中任意两项均互素．

设．则，且

于是数列符合以上要求．

数列（为素数）同样也符合以上要求．

注意到当时，有

因此如果素数同时整除和，则必有．

而由Fermat小定理，

注意到的素因子模的余数必为．于是我们可以进一步得到存在无穷多个模余的素数．

Srinivasan进一步证明了对于任意正整数，存在无穷多个模余的素数．这和Lucas的证明本质上是一样的，这里不再赘述．

10. Thue的证明

设正整数和满足，并设不超过的所有素数依次为，，，．对于任意的，其可以被表示为

由可知（）．

于是的取值不超过种．于是有

即．

对每个正整数，由可知

取，这样的和是满足上述要求的．

于是对于任意正整数，存在至少个素数，从而证明了素数有无穷多个．

11. Perott的证明

首先我们知道是收敛的，且其值恒小于．
事实上，Euler证明了．
我们可以用一个简单而初等的方法证明

证明

设．由上面的证明可知．

将不超过的所有素数依次设为，，，．由Erdös的证明可知：在不超过的正整数中，无除外的平方因子的正整数至多有个，能被所整除的正整数至多有个．于是有除以外的平方因子的正整数个数不超过

于是，即，也即．从而证明了素数有无穷多个．

Perott的证明将不超过的所有正整数按照是否含有除外的平方因子分成两类．此方法是筛法的基础，而筛法本质上是用来估计满足某些特定条件的整数数量的．

12. Auric的证明

反证法．若只有有限个素数，将其从小到大排列成．设为任意正整数，．

每个不超过的正整数可以被表示为

设，由可知对任意均成立．于是

当足够大时，上式不成立．于是素数有无穷多个．

13. Boije和Gennäs的证明

设为任意正整数，为不超过的所有素数．取，其中．设正整数，满足，，且．于是不被任何不超过的素数所整除，从而至少存在一个大于的素数． 于是素数有无穷多个．

注 本方法在本质上与Stieltjes的证明相同．

14.Barnes的证明

Barnes的证明用到了周期连分数和Pell方程的相关理论．

反证法．若只有有限个素数，设它们为，，，．令，．考虑连分数．有

注意到不被除外的任意素数整除，故必为的幂．又不可能为完全平方数，可设即

注 由以及不能被整除，可以很快知道不为的幂．

15. Braun的证明

反证法．若只有有限个素数，设它们为，，，．考虑

注意道，于是即．

于是必含有某个素因子．然而，

矛盾．因此存在无穷多个素数．

16. Harris的证明

设，，为两两互素的正整数，对于，

证明 由递推关系容易证明以下两个结论：

（1）若，则存在，且，使得．

（2）若，（，且），则．

由数学归纳法及，，两两互素即证．

17. Chernoff的证明

反证法．若只有有限个素数，设它们为，，，．对于任意正整数，恰好存在自然数组的种排列方式，使得