第一天

1. 求所有正整数对，使得，且是一个素数．

2. 求所有素数，使得是一个完全平方数．

3. 在中，．过点作外接圆的切线，和直线交于点．设为的中点，的外接圆与的第二个交点为．点关于中点的对称点为点．过点作的平行线，和直线交于点，过点作的平行线，和的外接圆交于另一点．求证：、、三线共点．

4. 在的国际象棋盘上，最多可以放置多少个马，使得棋盘上的每一格至多能被一个马攻击到？
   注： 国际象棋中的马每步棋先横走或直走一格，然后再往外斜走一格；或者先斜走一格，最后再往外横走或竖走一格（即走“日”字）．可以越子，没有中国象棋中的“蹩马腿”限制．

第二天

5. Silverio在黑板上写下一个由字母A和G组成的有限序列．然后，他执行以下操作：如果他发现至少出现一个字符串“AG”，他就会随机选择其中一个，并将其替换为“GAAA”．Silverio反复执行此操作，直到黑板上不再有“AG”字符串．求证：对于任意的初始序列，Silverio将在有限次操作后停止．

6. 求所有函数：，使得对任意，，都有

   

7. 称一个由正整数组成的集合是好的，如果能将其划分为两个不交的子集和，每个子集中至少有个元素，且子集中的元素为连续的斐波那契数，子集中的元素为连续的三角形数．求所有正整数，使得一个包含了除自身外所有约数的集合是好的．

8. 设为平面上所有点组成的集合．求所有函数：，使得对任意非退化的及其垂心，若，则