Junior Problems

J619. 在中，

求的所有可能值．

J620. 为直角三角形，为斜边的中点．已知，求的值．

J621. 在中，，为内心，为线段的中点．直线和过顶点的高交于点，求证：．

J622. 实数，，．求证：

J623. 设，，分别为的三条中线长．求证：

J624. 在中，点、、分别为、、的中点，点、、分别为、、上的垂足．求证：

Senior Problems

S619. 设，，，且至多一个为．求证：

S620. 设，，，为实数，求证：

S621. 求所有正整数，使得存在正整数，，满足以、、为三边，能构成一个非退化的三角形．

S622. 内接于圆，圆心为．过点和点作的切线，交于点．直线和交于点，为中点．求证：．

S623. 设正实数，，，和，，，（）满足

求证：

S624. ，，为正实数，求证：

Undergraduate Problems

U619. 求所有实系数多项式，使得对任意，，都有

U620. 计算：

U621. 非负实数，，满足．求

的最小值．

U622. 在任意锐角中，求证：

U623. 求所有实数，使得数列

收敛．并在此情况下求的极限．

U624. 设为素数．对任意正整数，定义为除外的所有素因子之积．：为一个积性函数，且存在非零整数，满足

Olympiad Problems

O619. 设为非负整数．求证：存在无穷多个正整数，对每个正整数，均存在无穷多组连续个正整数，使得这连续个正整数中恰有个数能表示为两个完全平方数之和．

O620. 求证：对任意正整数，至多存在一个三元正整数组，使得为一个素数的幂．

O621. 设，，为两两不同的正整数，，，为整数，为正实数．求证：存在无穷多个正整数，使得整除．

O622. 求所有正整数，使得能将，，，按照某种顺序排列，并满足对任意，前个数之和均为的倍数．

O623. 求证：存在正整数和个不同的正整数、、，使得在进制、、进制下，都是一个位的回文数．

O624. 在凸四边形中，．和的内切圆半径分别为和．设过点且和射线、均相切的圆半径为，过点且和射线、均相切的圆半径为．求证：