第一天

1. 一个的正方体中由个小正方体组成，每个小正方体内部都由一盏灯，每盏灯只有“开”和“关”两种状态．除最中心小正方体外，其余小正方体内都有一个开关．每次按动开关，将改变与开关所在小正方体有公共面的所有小正方体（包含自身）内灯的状态．起初所有的灯都是关闭的．确定以下哪些状态是可以实现的：
   （1）所有灯都开着．
   （2）除中央灯外，所有灯都开着．
   （3）只有中央灯开着．

2. 设锐角的内心为，垂心为．点为的中点，在直线上取点、，使得直线平行于，直线垂直于．求证：．

3. 求所有四元正整数组，使得，且整除．

第二天

4. 设实数．求证：当且仅当时，存在实系数二次多项式和，使得为的四个根．

5. 个格子排成一排，起初，最左边的格子内放有枚硬币，其余格子内都是空的．在每次操作中，能进行下面两种移动方式之一：
   (1)取出一枚硬币，将它移入相邻的格子内（左或右）；
   (2)从同一个格子中恰取出枚硬币，将它们全部放入同一个相邻的格子内（全部左或全部右）．
   在次操作后，每个格子中恰好有一枚硬币．求证：存在一枚硬币，其至少向左移动了次．

6. 在不等边的锐角中，内心为，直线与外接圆的另一个交点为．点为关于的对称点．过、分别作的垂线，交直线于点、．设在上的射影为，在上的射影为．求证：．