2022年地中海数学奥林匹克

1. 设．求最小的整数，使得存在个双面的卡片，，，，且具有如下性质：
   (1)每张卡片的一面写有中的一个数字，另一面写有中的另一个数字；
   (2)对任意，，且，能够选出一张卡片，其某一面写有，和另一张卡片（)，其某一面写有．

2. (1)是否存在两个十进制的数码和，使得每个形如的十进制数都能被整除？
   (2)是否存在两个十进制的数码和，使得每个形如的十进制数都能被整除？

3. 设，，，为正实数，求证：

   

4. 如图，在中，，为外心．过作的平分线的平行线与交于点，过作的垂线与的平分线交于点．延长至，使得，设的外接圆与的延长线交于点、与的外接圆交于点．求证：与的外接圆相切．

译者注：本题为2018年中国数学奥林匹克第一天第三题