2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题

为了参加数学竞赛，Mandy需要早起．从早上点分开始，她每分钟在手机上设置一次闹钟．如果她或她的母亲（或其他任何人）没有关闭闹钟，它会响一会儿，停一会儿，然后在分钟后再次响起，依此类推（例如，如果第一个闹钟没有关闭，它会在早上再次响起）．每个闹钟也将独立工作．现在假设每次铃声持续分钟，并且在Mandy早上醒来之前手机最终响了分钟（假设在此之前没有人关闭任何闹钟）．求的值．

设为正整数．求证：若素数整除，则．

点在内部，且满足，．求和面积之和的最大值．

实数，，满足．求的最小值．

为凸四边形，且满足，，．若和的角平分线交于的中点．求的面积．

(1)在平面上作一些直线，使其恰好产生个交点，求直线数量的最小值．（注：产生个交点，至少条直线；产生个交点，至少条直线；产生个交点，至少条直线；产生个交点，至少条直线，以此类推．）
(2)要恰好产生个交点，结论如何？