Junior Problems

J601. 实数，，，满足．求证：

J602. 求证：对任意正实数，都有

并说明等号成立条件．

J603. 的重心为．、、、分别为线段、、、的中点．求证：若

则、、、四点共圆．

J604. 奇正数，，满足且

求的最小值．

J605. 求证：
(1)对任意，

(2)若为锐角三角形，则

J606. 设实数，，．求证：

Senior Problems

S601. 在整数范围内解方程：

S602. 对任意整数，设

比较和的大小．

S603. 的内心为，重心为．直线交于点，直线交于点，交的外接圆于点．点为在上的射影．求证：若，则平行于．

S604. 实数，且．求证：

S605. 锐角的外心为，外接圆半径为．设、、的外接圆半径分别为、、．求证：为等边三角形当且仅当

S606. 设，，为正实数．求证：

Undergraduate Problems

U601. 实数，，，满足多项式的所有根均大于．求的最小值．

U602. 设，．计算

U603. 求所有函数：，满足以下条件：
(1)对任意，，．
(2)对任意，．

U604. 若

求

U605. 非零复数，，的模长相等，且满足

其中为实数．
(1)求证：．
(2)求证：若，则，，中有且仅有一个方程有模为的根．

U606. 求所有双射函数：，使得对任意满足为奇数的正整数，，都有

这里表示次迭代．

Olympiad Problems

O601. 求所有整数，使得为完全平方数．

O602. 正实数，，，满足

求证：

O603. 求所有三元非负整数组使得

O604. 设整数．对的任意一个非空子集，设为中所有元素的算术平均值．在两个不同集合和取遍的所有非空子集时，求的最小值．

O605. ，，为正实数，，，为实数．求证：

O606. 求证：任意连续六个正整数的乘积不为整数的五次方．