2023年英国数学奥林匹克（第一轮）——视频解答

1. 一条路上有编号为~的房子，其中为三位数．其中恰有个编号首位为，为正整数．求的所有可能值．

2. 正整数列满足，．且对所有正整数，都有，．设在，，，中共有个完全平方数，求的最大可能值．

3. 在非等腰的锐角三角形中，、的中点分别为点、．点在直线上，且满足在、之间．点满足是直角，且．点满足是直角，且．求证：，，，四点共线．

4. Alex和Katy在一个由个单元格组成的正方形网格上玩游戏．两人轮流行动，从Alex开始．在Alex的回合，他在一个空格中写下“A”；在Katy的回合，她在两个边相邻的空格中各写下一个“K”．当一方无法继续时，游戏结束．Katy的得分为游戏结束时网格中K的个数．求Katy保证能得到的最高分数．

5. 对任意整数，考虑一个从开始到结束，以互不相同的正整数组成的数列，满足除最后一项外，每一项均整除其后一项，设这样的数列共有个．求证：对任意整数，存在整数，使得整除．（例如：，，．）

6. 圆的半径为．直线到圆心的距离在到之间．青蛙在上选取一个到距离小于的点，并坐在该点上．然后青蛙在圆和直线上来回跳跃，每一跳的距离为．如果从起跳，则必落在上，反之亦然．求证：有限次跳跃后，青蛙能回到初始点．

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