2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答

2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：

给定实数．今知正数满足条件和．试求表达式的最小可能值．

本题和基于柯西不等式的一种代换方法一文中的不等式十分相似．事实上，本题可以用几乎一样的方法进行处理，即先用柯西不等式确定每个变量的范围，然后使用局部不等式即可．

答案：

最小值为，当且仅当或其轮换时，等号成立．

证明：

由条件知：

由柯西不等式知：

由知，于是

同理，对任意，都有

因此

对上式从到求和得：

证毕．