Junior Problems

J583. 设和为正整数．求证：

J584. 有理数，，满足，，均为有理数的平方．求证：．

J585. 实数满足

J586. 在中，，、、为三条高．以为直径的圆交于，交于．直线交于，交于．设线段的中点为．求证：为等腰三角形．

J587. ，，均为非负实数，且至多一个为．求证：

J588. 求所有非负整数，，，使得

Senior Problems

S583. 求方程

S584. 在任意中，求证：

S585. 不等边的外接圆为，为九点圆圆心．直线和交于点．设为的九点圆圆心．求证：、、、四点共线，且．

S586. 在任意三角形中，求证：

S587. 凸四边形的对角线和交于点．点和点分别为边和的中点．线段和交于点，和交于点．求证：

其中表示的面积．

S588. 求所有三元非负整数组，使得

Undergraduate Problems

U583. 给定整数，设

U584. ，，均为大于的正整数．的实矩阵满足，对任意的实矩阵均成立．求证：若，则对任意的实矩阵均成立．

U585. 计算：

U586. 求所有函数，：，使得对任意，都有

U587. 对，证明：

U588. 求证：

Olympiad Problems

O583. 设，，为实数，求证：

O584. 设为圆外接四边形，和交于点．设、、、、、、、分别为、、、的内切圆半径和-旁切圆半径．求证：

O585. 在任意中，求证：

O586. 凸四边形的对角线和交于点．在四边形外部构造和，使得，，，．求证：，，三点共线．

O587. 设，，，均为正实数．求证：

O588. 正实数，，，满足