Junior Problems

J607. 求所有整数，使得对任意整数和，
均为完全平方数．

J608. 均为整数，且满足为奇数，为偶数．求证：若方程

J609. 求所有三元实数组，使得

J610. 为上三个互异的实数．求

的最小值．

J611. 均为正实数．求证：

J612. 为平行四边形．过点作的外接圆交直线于点，交直线于点．设为的外心．求证：．

Senior Problems

S607. 设为正整数，，．求证：对任意正整数，均为合数．

S608. 设为正实数，求证：

S609. 设的三条中线长为，，，面积为．求证：

S610. 求证：在任意中，

S611. 素数，满足，，，设．求证：满足以下结论：

S612. 给定平面上一个三角形和一点．设，，，，，．过点且平行于的直线交于点，过点且平行于的直线交于点．设．若,,,分别和交于点,,,．求证：．

Undergraduate Problems

U607. 设为素数，整数满足，求证：

U608. 考虑形式幂级数：

求展开式中的系数．

U609. ：为连续函数，且满足对任意，都有．记

求的最小值．

U610. 设为正整数，求值：

U611. 称由实数组成的集合为“好的”，如果存在互异的非零实数,,，和不全为零的整数,,，使得

设是一个有理系数的二次多项式．求证：集合

是“好的”．

U612. 设为非负实数，．求值：

Olympiad Problems

O607. 设,,和均为正整数，设．求证：存在无穷多个正整数，使得，其中为整数的最大素因子．（例如，．）

O608. 求正整数的最小可能值，使得不定方程

O609. 的外接圆为，外心为，点,在边上，且满足．过作的垂线与,分别交于点,；过作的垂线与,分别交于点,．和的外接圆分别与再次交于点,．求证：,,,四点共圆．

O610. ,,均为正实数，求证：

O611. 设，,,为不全相等的正整数．求证：存在有限多个正整数，使得为一个正整数的次幂．

O612. 正实数,,,,满足