数学竞赛每日一练 第10期解答

设是大于的偶数，整数满足对所有成立．证明

证明

先证明一个引理：设

则有，使得．

引理的证明

反证法，若结论不成立，则对任意，有不是的倍数．

设，其中为奇数，为自然数，则（）．但因为只能取，，，，至多个数，矛盾，故得证．

原命题的证明

我们计算这些数，，，在集合中倍数的个数．对每个，的倍数个数是．对任何，的此类倍数与的此类倍数没有重复，因为它们至少是．

，，，的倍数总数为．

即

欲证

只需证，即．

若，由引理得，存在，使得，则，矛盾！

从而原命题获证．