数学竞赛每日一练 第11期解答

证明：存在无穷多个互不相似的三角形，其边长，，为正整数，且，，成等差数列．

证明 当，，成等差数列，则

分解得：

选取关于的一个多项式做两种途径的分解

对比目标式，构造

易验证，，满足

因此，，成等差数列．

当时，有，且

因此以，，为边长可以构成三角形，将此三角形记为（）．

其次，任取正整数，（，且），假若三角形与相似，则有：

据比例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与（,）互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长，，为正整数，，成等差数列．