数学竞赛每日一练 第9期解答

数列满足，．设，其中且互素．求证：若为的一个素因子，则或．

证明 先求的通项公式．

由知

即

设即，则有

考虑到，设

即，且．因此

因此的所有项均是分母为的幂的最简分数，即，因此．

注意到

即，其中．

于是只需证明：对任意正整数，的素因子，要么有，要么有．

由知．

因此模的阶为或．

若模的阶为，即，又

于是，即．

若模的阶为，由Fermat小定理，因此，即．

证毕．