卡诺定理的两个证明

这是今天在上课时讲的一道例题．

卡诺定理 三角形外心到三边的有向距(外心在边的形内一侧的距离为正，形外为负)之和等于其外接圆与内切圆半径之和．

设三角形为，外心为，在，，上的射影分别为，，，，，．的外接圆半径为，内切圆半径为，面积为．

分析 题中没有出现内心，所以考虑将内切圆半径用三角形的边或角表示出来．外心到三边的距离可以有如下两种处理方式：

1. 计算面积，即有等式
2. 用三角函数表示，即

由此有了以下两种方法：

方法一 只考虑在内部的情形，其余情形类似可得．

注意到

要产生，我们在两边同时加上，于是有

要想证明，只需证

即证

也即

注意到等式左右两边的项数之比为，再结合题目中的垂直条件，联想到四点共圆和托勒密定理．

由、、、四点共圆知：

且，，，，，．于是上式可写为

同理有

三式相加即证．

评注 以上还原了上课时的分析过程，整体十分自然．读者可以自行尝试点在三角形外部的情形．

方法二 事实上，我们有计算外心到三边有向距的公式：

值得一提的是，当为钝角时，，此时为负，恰好符合有向距的要求．

又有

于是

这由三角形中常见的两个三角恒等式即可证明：

评注 使用三角法可以避免对位置的讨论．