数学竞赛每日一练 第4期解答
给定一个正整数数．求证：总能选取的个约数（可以相同），使得其和恰好为．（这里为小于且和互素的正整数个数．）
解答 给出两个定义：
如果正整数能表示成其个约数之和，且其中至少有个为，则称为“幸运数”； 如果正整数能表示成其个约数之和，但其中的数量少于，则称为“伪幸运数”．
我们证明以下结论：
除和外，所有素数的正整数次幂均为“幸运数”．
证明：注意到 ．
如果，均为“幸运数”，且，则也为“幸运数”．
证明：由定义可设：
于是
上式展开后共有
项，且每一项均为的约数，证毕．
对任意奇数，和为“伪幸运数”．
证明：，将的“幸运数”表达式中每一个数同时乘以，即得的“伪幸运数”表达式．
设，于是
上式展开后有项，证毕．
综上，所有正整数或为“幸运数”，或为“伪幸运数”，故本题结论成立．
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