2023年香港IMO代表队第三次选拔考试试题

非零实数,,满足．求证：,,中至多两个大于．

将转换为二进制的小数，求该小数的循环周期．
注：将分数化为小数时（在任意进制下），要么为有限小数，要么形式为

其中重复的序列称为循环节，最小的循环节长度称为小数的循环周期．

给定一个的方格网，在其中一些单元格内有甲虫，每个单元格上最多有一只甲虫．在第一分钟，每只甲虫将向其左或右相邻的方格移动一格．在第二分钟，每只甲虫将再次移动，只是这一次，如果甲虫在前一分钟向右或左移动，它将在这一分钟向上或下移动一格，反之亦然，如此重复．求正方形网格中的甲虫的最小数量，以确保无论甲虫最初在哪里，以及它们在第一分钟内如何移动，但在有限分钟后，至少有两只甲虫会在某个单元格相遇．

设四边形内接于圆，且满足．和分别为和的中点，直线和再次交于点．求证：在处的切线、直线、直线三线共点．