数学竞赛每日一练 第17期解答

题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克

另解见：李耀文——2021马其顿初中数学林匹克第5题解答

设为锐角三角形，点和分别在和上，满足．和分别为和的内心，为和的外接圆的另一交点．求证：．

证明： 记和的外接圆半径分别为和．则

由、、、四点共圆，、、、四点共圆得：

结合，有．

于是，这说明在的角平分线上，即、、、四点共线．

由“鸡爪定理”，，，于是

于是，证毕．

\usepackage{tikz}\usepackage{tkz-euclide}\begin{tikzpicture}\tkzDefPoints{1/2.5/A,0/0/B,4/0/C} %定义A、B、C三点\tkzDefPointWith[linear normed,K=sqrt(2)](B,A)\tkzGetPoint{X} %在线段AB上取点X，使BX=\sqrt{2}\tkzDefPointWith[linear normed,K=sqrt(2)](C,A)\tkzGetPoint{Y} %在线段AC上取点Y，使CY=\sqrt{2}\tkzInCenter(A,B,Y)\tkzGetPoint{I_B} %取三角形ABY的内心I_B\tkzInCenter(A,C,X)\tkzGetPoint{I_C} %取三角形ACX的内心I_C\tkzDefTriangleCenter[circum](A,B,Y) \tkzGetPoint{O_1}\tkzGetLength{r_1} %定义三角形ABY的外接圆，圆心为O_1，半径为r_1\tkzDefTriangleCenter[circum](A,C,X) \tkzGetPoint{O_2}\tkzGetLength{r_2} %定义三角形ACX的外接圆，圆心为O_2，半径为r_2\tkzInterCC(O_1,A)(O_2,A)\tkzGetPoints{A}{T} %两圆交点为A和T\tkzDrawPoints(I_B,I_C) %作点\tkzDrawCircle(O_1,A) %作圆\tkzDrawCircle(O_2,A) %作圆\tkzDrawSegments(A,B B,C C,A B,Y C,X) %连接线段\tkzDrawSegments[dashed](T,A T,B T,C) %连接线段（虚线）\tkzLabelPoints[below](B,C,T)\tkzLabelPoints[above](A)\tkzLabelPoints[right](I_B,I_C,Y)\tkzLabelPoints[left](X)\end{tikzpicture}