数学竞赛每日一练 第1期解答

题目1（2021土耳其TST）求所有的正整数，使得存在一组实数，，，满足，对任意，均有，且

解答 满足题意的为所有模余的正整数．

首先证明：

我们知道：

故只需证明：

即

由于对任意，均有．于是，即．

因此

设，．则要证明

回到原题，要使得等式成立，考虑取等条件，我们有：

对于任意，都有或且

即

是平凡的；
；
；
；
；
．
进行跨度为的归纳，假设对结论成立，那么在时，只需在，，，中找出若干个不同的数，，，，满足

对比系数可得，于是，．因此

这些能取的值为，，，，，，，，．可以发现，于是取这个为，，，，，即可．

因此本题答案为所有模余的正整数．

题目2 （2018年巴尔干地区预选题）设，，，为正实数．证明：

证明 注意到

令，记，，则注意到

化简可得上式等价于

由柯西不等式即证．