Mathematical Reflections 2024 年第一期征解题

\section*{Mathematical Reflections 2024年第一期征解题}\section*{Junior Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf J649.}求所有正整数$n$，使得$(n+3)(n^{2}+3n+3)$为三个素数$p>q>r$之积，且$p-r=6$．\vfill{\bf J650.}实数$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$．求证：$$\sqrt{1-bc}+\sqrt{1-ca}+\sqrt{1-ab}\ge\sqrt{6}.$$\vfill{\bf J651.}在圆内接四边形$ABCD$中，已知$$(AB-BC+CD+DA)(BC+CD+DA-AB)+AC\cdot BD=(AB+AD)(BC+CD).$$求$\angle ADC$的大小．\vfill{\bf J652.}在四边形$ABCD$中，$X$为对角线的交点．设$r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$分别为$\triangle XAD,\triangle XDC,\triangle XCB,\triangle XBA$的内切圆半径．求证：若$$\dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{3}}=\dfrac{1}{r_{2}}+\dfrac{1}{r_{4}},$$则四边形$ABCD$有内切圆．\vfill{\bf J653.}设$a,b,c$为互异的实数．求证：下列三个等式中，已知任意两个都能推出第三个：$$3ab+(b-c)(c-a)=\frac{16}{a-b},3bc+(c-a)(a-b)=\frac{4}{b-c},3ca+(a-b)(b-c)=\frac{-20}{c-a}.$$是否存在这样的$(a,b,c)$?\vfill{\bf J654.}是否存在函数$f$：$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，使得对任意$x\in\mathbb{Z}$，都有$$f(f(x))=x^{3}-2x+1?$$\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2024年第一期征解题}\section*{Senior Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf S649.}正实数$a,b,c$满足$ab+bc+ca+abc=4$．求证：$$\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}\le 1.$$\vfill{\bf S650.}在$\triangle ABC$中，设$A',B',C'$分别为旁切圆与三条边的切点．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 向量$\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BB'},\overrightarrow{CC'}$能围成一个三角形当且仅当$\triangle ABC$为正三角形．\item 将上一问中的向量改成线段，结论是否仍成立？\end{enumerate}\vfill{\bf S651.}设$a,b,c$为实数，求证：$$3a^{2}b^{2}c^{2}+3\sum_{cyc}(a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4})\ge 3abc\sum_{cyc}a^{3}+4\sum_{cyc}a^{3}b^{3}.$$\vfill{\bf S652.}求最小的正整数$m$，使得存在正整数$n$，满足$$1+2+\cdots+m=(2+3+\cdots+n)^{2}.$$\vfill{\bf S653.}非负实数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{9}$满足$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}=2$，且$a_{1}\ge a_{2}\ge\cdots\ge a_{9}$．求证：$$a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\cdots+a_{9}a_{1}\le 1.$$\vfill{\bf S654.}正实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$．求证：$$\frac{8(ab+bc+ca)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 9\sqrt{abc}.$$\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2024年第一期征解题}\section*{Undergraduate Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf U649.}计算：$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{(1^{2}+n^{2})(2^{2}+n^{2})\cdots(n^{2}+n^{2})}{n!n^{n}}\right)^{1/n}.$$\vfill{\bf U650.}计算：$$I=\int_{1}^{e}\frac{(\ln x-1)^{2}-3}{(\ln x+2)^{2}}\mathrm{d}x.$$\vfill{\bf U651.}实数$x,y,z,t$满足$x+y+z+t=0$．求证：$$\frac{x+1}{x^{2}+3}+\frac{y+1}{y^{2}+3}+\frac{z+1}{z^{2}+3}+\frac{t+1}{t^{2}+3}\le\frac{4}{3}.$$\vfill{\bf U652.}设$k$为正整数，$n$为正偶数．求证：多项式$$1+x+\cdots+x^{2^{k}}+x^{n}$$有一个复根的模长为$1$，当且仅当$v_{2}(n)<k$．\vfill{\bf U653.}求所有的有限群，其有真子群，且真子群的阶只能为$2$或$3$．\vfill{\bf U654.}计算：$$\int_{0}^{1}\frac{x\sqrt{x}\ln x}{x^{2}-x+1}\mathrm{d}x.$$\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2024年第一期征解题}\section*{Olympiad Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf O649.}求所有正整数$n$，使得$$n!+1=(8a-3)^{2};(n+1)!+1=(8b+3)^{2};(2n-1)!+1=(8c-1)^{2},$$其中$a,b,c$均为模$8$余$1$的正整数．\vfill{\bf O650.}求最大的实数$\lambda$，使得不等式$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\lambda\left(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}-\frac{1}{3}\right)$$恒成立，其中$a,b,c$为非负实数，且至多一个为$0$．\vfill{\bf O651.}求最大的实数$k$，使得不等式$$\frac{a^{3}+ka^{2}b}{a+b}+\frac{b^{3}+kb^{2}c}{b+c}+\frac{c^{3}+kc^{2}a}{c+a}\ge\frac{(k+1)(ab+bc+ca)}{2}$$恒成立，其中$a,b,c$为非负实数，且至多一个为$0$．\vfill{\bf O652.}对正整数$n$，记$S_{2}(n)$为$n$在二进制表示下的数码和．求证：存在正整数$l,m\ge 1402$，使得存在无穷多对奇数$(a,b)$，满足$S_{2}(a)=l$，$S_{2}(b)=m$，且$S_{2}(ab)=4$．\vfill{\bf O653.}设$n\ge 4$，实数$a_{1}=a_{2}\ge a_{3}\ge\cdots\ge a_{n-1}=a_{n}$．求证：$$n(a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\cdots+a_{n}a_{1})\ge (a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^{2}.$$\vfill{\bf O654.}设$f(x)$是一个整系数多项式，且最高次项系数为正．求证：数列$$x_{n}=\left\{\frac{6^{f(n)}}{n}\right\}$$在$[0,1]$中稠密．($\{a\}$表示$a$的小数部分．）\vfill