全部文章
共 563 篇 · 第 9 / 15 页 按发布时间倒序
一道有趣的计数问题
公众号原标题：【新年快乐！】一道有趣的计数问题用由 3 个小方格组成的L形（可旋转）和 1× 1 的小方格不重叠地覆盖 4× 4 的正方形棋盘，共有多少种覆盖方法？（旋转、对称后重合的视为不同方法） 不确定自己答案是否正确的话，…
2022年土耳其数学奥林匹克（第二轮）
公众号原标题：2022年土耳其数学奥林匹克（第二轮）——中文翻译第一天 在 △ ABC 中，M 为 BC 边的中点，∠ BAC 的角平分线和边 BC、圆 (ABC) 分别交于点 K、L ．如果以 BC 为直径的圆与 ∠ BAC 的外角平分线相切，…
2023年第四届北马其顿"亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩"纪念赛
公众号原标题：2023年第四届北马其顿"亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩"纪念赛——中文翻译高级组 第一天 a , b , c , d 为整数．求证：对任意正整数 n，存在至少 ⌊n/4 ⌋ 个正整数 m≤ n，…
要不要教女儿凑十法？
女儿四岁多了，之前虽然没有刻意教她数学，但她已经能够比较熟练地口算一些简单的加减法。今天看她在书桌上自己写数字，心血来潮，准备教她进位加法，于是给她写了个题：9+4=。…
2023年以色列数学奥林匹克
公众号原标题：2023年以色列数学奥林匹克——中文翻译2000 人围坐在一张圆桌旁．他们每个人要么是讲真话的人（总是讲真话），要么是撒谎的人（总是撒谎）．每个人都说“在我旁边右边的三个人中，…
牛顿不等式的初等证明
在 《麦克劳林不等式的初等证明》 一文中，龚固老师用数学归纳法给出了麦克劳林不等式的一个初等证明。这里我也尝试用数学归纳法来证明牛顿不等式
贝叶斯公式和抗原检测
今天看到一个视频：我们国家已经批准的抗原检测试剂，它的敏感性在75% 98%之间，特异性是95% 99%之间。因为我们疫情防控措施比较好，我们国家大部分地区人群的流行率低于百万分之一。…
【勘误】等轴双曲线内接正三角形的面积最小值
昨天发的文章中有两处错误，感谢读者指出
等轴双曲线内接正三角形的面积最小值
在平面直角坐标系中，点 A，B，C 在双曲线 xy=1 上，满足 △ ABC 为等边三角形．求 △ ABC 的面积的最小值． 注：本题改编自2020年高联一试第11题，…
2023年香港IMO代表队第三次选拔考试试题
公众号原标题：2023年香港IMO代表队第三次选拔考试试题——中文翻译非零实数 a , b , c 满足 abc=2 ．求证：2a-1/b , 2b-1/c , 2c-1/a 中至多两个大于 2 ． 将 39/1428 转换为二进制的小数，…
2022年中美洲及加勒比数学奥林匹克
公众号原标题：2022年中美洲及加勒比数学奥林匹克——中文翻译第一天 有一个有 2022 块石头的石堆．Ana和Beto轮流玩以下游戏，从安娜开始：在每一回合，如果石堆里有 n 块石头，玩家可以移除 S(n) 块石头或 n-S(n) 块石头，…
2022年清华大学大中衔接试题及个人思考
求所有的整数 x，使得 x^8≡ 1661 ． 是否存在首一整系数多项式 f(x) , g(x)，满足 f(x)g(x)-(x^5-x+1) 的系数均为 5 的倍数？至少进行多少次相邻两数位置互换的操作，…
加拿大CRUX杂志问题4781-4790
公众号原标题：加拿大CRUX杂志问题4781-4790——中文翻译C 为所有互质的正整数对组成的集合．设 d(m,n)=gcd{2m(m+n),n(10m+n),n^2+10m^2+2mn} 求 {d(m,n)| (m,n)} ． A 为所有满足 1≤ n≤ 2022，…
2022年高联A2卷一试非官方解答
今天看到题目之后就马上给学生讲了一试，这里对上课的解答做个整理．
2022年巴西数学奥林匹克（初级组）
公众号原标题：2022年巴西数学奥林匹克（初级组）——中文翻译第一天 一个单人游戏的规则如下：起初，有 10 堆石子，每堆各有 1,2,…,10 枚石子．每次进行以下操作之一：i 选择两堆石子数不少于 2 的石子，将它们合并，并在新石堆中再放入 2 枚石子；…
2022年巴西数学奥林匹克
公众号原标题：2022年巴西数学奥林匹克——中文翻译第一天 一个单人游戏的规则如下：起初，有 10 堆石子，每堆各有 1,2,…,10 枚石子．每次进行以下操作之一：i 选择两堆石子数不少于 2 的石子，将它们合并，并在新石堆中再放入 2 枚石子；…
2023年英国数学奥林匹克（第一轮）——视频解答
公众号原标题：2023年英国数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译及视频解答一条路上有编号为 1 ~ n 的房子，其中 n 为三位数．其中恰有 1/k 个编号首位为 2，k 为正整数．求 n 的所有可能值． 正整数列 {a_n} 满足 a_1=a，a_2=b ．且对所有正整数 n，…
从布洛卡角的两个性质到两道早年IMO试题
公众号原标题：【教学笔记】从布洛卡角的两个性质到两道早年IMO试题两道相隔近30年的IMO试题，通过布洛卡角竟产生了如此美妙的关联．
Mathematical Reflections 2022年第六期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2022年第六期征解题——中文翻译Junior Problems J607. 求所有整数 k，使得对任意整数 m 和 n，(3m^2-4n^2)^2+(4m^2-3n^2)^2+7mn(10m^2+kmn+10n^2) 均为完全平方数． J608. …
2022年波罗的海之路数学竞赛
公众号原标题：2022年波罗的海之路数学竞赛——中文翻译函数 f：R^+^+ 满足对任意 x^+，都有 f(x^3)=f(x)^3，f(2x)=f(x) ．求 f(√[2022](2) ) 的所有可能值． 自然数列 {a_n} 满足 a_0=a_1=a_2=1，…
2022年韩国数学奥林匹克（初级组）
公众号原标题：2022年韩国数学奥林匹克（初级组）——中文翻译第一天 △ ABC 的内切圆和边 AB、BC 分别切于点 D、E，I 为 △ ABC 的内心．求证：AI 和 DE 的交点在以 AC 为直径的圆上． 对正整数 n （≥ 3），…
ac-bd=(a+b)c-(c+d)b
以下为证明Farley级数性质的过程中，一个重要的结论． a、b、c、d、e、f 都是正整数，且 a/b>c/d>e/f，af-be=1 ．求证：d≥ b+f ． 证明：由 a/b>c/d 知 ad-bc>0，…
2022年葡语国家数学奥林匹克
公众号原标题：2022年葡语国家数学奥林匹克——中文翻译第一天 方程组 a^4-b^4=c b^4-c^4=a c^4-a^4=b 有多少组实数解 (a,b,c)？Anselmo和Claudio在一个装有水果的盒子里玩游戏．盒子里开始有 32 个水果，从Anselmo开始，…
赛题翻译文章合集
以下为本公众号创立以来发的翻译文章合集，包括今天发的，共计66篇。2021年科索沃数学奥林匹克 中文翻译 2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛——中文翻译 2021年乌克兰雅辛斯基几何竞赛（提高组）——中文翻译 …
赛题翻译文章合集
以下为本公众号创立以来发的翻译文章合集（含转载） 2021年科索沃数学奥林匹克 中文翻译 2020巴西数学奥林匹克 第二级 中文翻译 2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛——中文翻译 …
几道与圆幂有关的问题
总有人说，我公众号上平面几何内容太少了，想看到一些几何有关的文章。其实，一直没怎么发几何的原因主要有两个：一个是几何水平确实不高，另一个是太懒了，不想每次都用tikz画图，又不喜欢用几何画板。…
几道用线性代数解决的问题
线性无关：称向量 v_1，v_2，…，v_n∈ V 是线性无关的，如果 c_1v_1+c_2v_2+…+c_nv_n=0 当且仅当 c_1=c_2=…=c_n=0 ． Putnam 2003 B1 是否存在多项式 …
2023年香港IMO代表队第二次选拔考试试题
第一次考试题见：【勘误】2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题给定一个的正方形网格，起初里面的每一个方
一道不等式的若干推广
《命题人讲座——代数不等式》中有一道例题：正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3 ．证明：1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)≥ a^2+b^2+c^2. 该不等式可加强为：正实数 a，b，…
加拿大CRUX杂志问题4771-4780
I 为一个包含 0 和 1 的开区间，f：I 为为可微的严格递增的下凸函数．若 f'(1)< 2f(1)，求证：存在正实数 a，b，使得 n→∞ 时，…
2022年全国高中数学联赛安徽赛区完整获奖名单及简单分析
昨天看到林老师写的文章《2022全国高中数学联赛广东赛区获奖情况分析》，这里我也简单分析一下安徽省的获奖情况。省队情况分析 今年省队人数增加至16人，比去年多1人。…
用极坐标解答一道圆锥曲线题
近日，有学生问了我一道题：A、B 在椭圆上，且 AB 过椭圆左焦点 F，过 A、B 作椭圆切线交于点 C ．若 |AC|=|AB|，求椭圆离心率的取值范围． 这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，…
用极坐标解答一道圆锥曲线题
近日，有学生问了我一道题：A、B 在椭圆上，且 AB 过椭圆左焦点 F，过 A、B 作椭圆切线交于点 C ．若 |AC|=|AB|，求椭圆离心率的取值范围． 这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，…
升高维度，解决问题
本文整理自今天的上课笔记，就不再重新用电脑画图了。先来看一道简单的题目：A、B、C 在一条直线上顺次排列，P 为 AC 中点，…
2022年匈牙利Kürschák József数学竞赛
匈牙利是数学竞赛的发源地，而Kürschák József数学竞赛是全球范围内历史最悠久的数学竞赛．
一道复数题的线代背景
假设 a，b，c，d，且 |a|^2+|b|^2=|c|^2+|d|^2=1，ac+bd=0 ．求证：ab+cd=0 ． 证明：记 X=( lla b c d ) ．由于 XX^H= ( lla b c d )·( …
两道条件为x+y+z=xy+yz+zx的不等式
今天，在不等式爱好者群中，吴老师问了如下不等式：实数 x，y，z 满足 x+y+z=xy+yz+zx ．证明：x/(x^2+1)+y/(y^2+1)+z/(z^2+1)≥ -1/2. 以下为我的证明：引理：若 …
Mathematical Reflections 2022年第五期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2022年第五期征解题——中文翻译Junior Problems J601. 实数 a，b，c，d 满足 7> a≥ b+1≥ c+3≥ d+4 ．求证：1/(7-a)+4/(6-b)+9/(4-c)+16/(3-d) ≥ a+b+c+d J602. …
【勘误】2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题
为了参加数学竞赛，Mandy需要早起．从早上 5 点 30 分开始，她每 15 分钟在手机上设置一次闹钟．如果她或她的母亲（或其他任何人）没有关闭闹钟，它会响一会儿，停一会儿，然后在 9 分钟后再次响起，依此类推（例如，…
2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题
公众号原标题：2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题——中文翻译为了参加数学竞赛，Mandy需要早起．从早上 5 点 30 分开始，她每 15 分钟在手机上设置一次闹钟．如果她或她的母亲（或其他任何人）没有关闭闹钟，它会响一会儿，停一会儿，然后在 9 分钟后再次响起，依此类推（例如，…
