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2023年波兰数学奥林匹克决赛（初级组）
公众号原标题：2023年波兰数学奥林匹克决赛（初级组）——中文翻译1. 是否存在实数 x,y,z，使得 x+1/y=z, y+1/z=x, z+1/x=y. 2. 正整数 a,b 满足 a>b>1，…
一道困难的n元不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道困难的n元不等式给定正整数 n≥ 3 ．求所有实数 t，使得不等式 a_1+a_2+…+a_n-ta_1a_2… a_n≤ n-1 对满足 a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=n-1 的任意实数 a_1,a_2,…,a_n …
用Binet-Cauchy公式证明一道不等式
Binet Cauchy（比内 柯西）公式 1 现在我们用Binet Cauchy公式证明一道不等式：题目：正整数 n≥ 4，…
2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答
2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：给定实数 a∈(0,1) ．今知正数 x_0,x_1,…,x_n 满足条件 x_0+x_1+…+x_n=n+a 和 …
2023年罗马尼亚国家数学奥林匹克（五至七年级组）
公众号原标题：2023年罗马尼亚国家数学奥林匹克（五至七年级组）——中文翻译龙老师翻译了八至十二年级组的题目，我把五、六、七年级的也一起翻译了。这次是真·小奥题了
2023年越南国家队选拔考试
公众号原标题：2023年越南国家队选拔考试——中文翻译中文翻译 第一天 1. 一个学校里有 A 和 B 两个班，分别有 m 和 n 名学生．两个班的学生围成一圈，然后每个学生会得到一些糖果，糖果的数量等于该学生左边连续的同班同学的个数（若左边不为同班同学，…
第十二届XMO不等式的推广及证明
第十二届XMO的二试第二题如下：已知 a_1,a_2,…,a_22∈[1,2]，求 (Σ_(i=1)^22a_ia_(i+1))/((Σ_(i=1)^22a_i)^2) 的最大值．（其中 a_23=a_1） …
2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）
公众号原标题：2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）——中文翻译代数、数论组 1. 非负整数 a,b,c,d 满足 (a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=2023. 求 a^3+b^3+c^3+d^3 ． 2. 求 a 的最大值，使得存在实数 b,c>1，…
2023年马其顿数学奥林匹克
公众号原标题：2023年马其顿数学奥林匹克——中文翻译以下为tex（题号处有AoPS超链接）： 1. 求所有函数 f：R，使得对任意 x,y，都有：xf(x+y)+yf(y-x) = f(x^2+y^2). 2. p,q 均为奇素数，a 为正整数，使得 p| a^q+1，…
2023年乌克兰数学奥林匹克
公众号原标题：2023年乌克兰数学奥林匹克——中文翻译八年级组 第一天 Oleksiy在 8× 8 棋盘的每一格中各写入一个正整数．对于每一对相邻的格子，Fedir写下它们内数字的积，并将所有积相加．而Oleksiy则写下每一对相邻格子内数字的和，…
2023年美国第四届圣诞数学奥林匹克
公众号原标题：2023年美国第四届圣诞数学奥林匹克——中文翻译这是aops上圣诞节讨论组举办的一系列比赛之一，CIME是AIME的模拟赛，CAMO是USAMO的模拟赛，CJMO是USAJMO的模拟赛
2023年韩国数学奥林匹克决赛第6题不等式证明
对正整数 n≥ 3 和实数 a_1，…，a_n，b_1，…，b_n，求证：Σ_(i=1)^n a_i(b_i-b_(i+3))≤(3n)/8Σ_(i=1)^n((a_i-a_(i+1))^2+(b_i-b_(i+1))^…
2023年上海市高三数学竞赛试题解答
若不等式 log_a x>tan x （a>0 , a≠ 1）对任意 x∈(0,(π)/4) 均成立，则实数 a 的取值范围是 ． 答案：[(π)/4,1) 将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为 2，…
2023年韩国数学奥林匹克决赛
公众号原标题：2023年韩国数学奥林匹克决赛——中文翻译第一天 在 △ ABC 中，AB< AC，点 D 和点 E 分别在线段 AB 和 AC 上（异于端点）．点 P 满足 PB=PD，…
正可约多项式
公众号原标题：【习题研讨】正可约多项式称多项式 f(x) 为 正可约多项式，如果 f(x) 能写为为两个非常数的正系数多项式之积．设多项式 f(x) 满足 f(0)≠ 0，且存在正整数 n，使得 f(x^n) 是一个正可约多项式，…
2023年土耳其欧洲女子数学奥林匹克代表队选拔考试
公众号原标题：2023年土耳其欧洲女子数学奥林匹克代表队选拔考试——中文翻译第一天 △ O_1O_2O_3 为锐角三角形．分别以 O_1、O_2、O_3 为圆心，作三个两两相切的圆 ω_1、ω_2、ω_3 ．设 △ O_1O_2O_3 的外接圆和 ω_i 交于点 A_i、B_i （i=1，2，…
一道复数不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道复数不等式给定正实数，求证：对任意，都有欢迎各位读者将解答发送至邮箱encifanggen@qq.com
求俱乐部个数的最大值
公众号原标题：【习题研讨】求俱乐部个数的最大值昨天发的题目有误，感谢万宏老师指出，今天进行了更正
2023年菲律宾数学奥林匹克
公众号原标题：2023年菲律宾数学奥林匹克——中文翻译第一天 求所有正整数对 (a,b)，使得 a^2+b^2+25=15ab，且 a^2+ab+b^2 是一个素数． 求所有素数 p，使得 (2^(p+1)-4)/p 是一个完全平方数． 在 △ ABC 中，…
Mathematical Reflections 2023年第二期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2023年第二期征解题——中文翻译Junior Problems J619. 在 △ ABC 中，AB^4+BC^4+CA^4=2AB^2· BC^2+AB^2· CA^2+2BC^2· CA^2. 求 ∠ A 的所有可能值． J620. △ ABC …
基于柯西不等式的一种代换方法
我们先看一道柯西不等式的入门题目：题目1: n ≥ 3 为正整数，a、b 为给定的实数，实数 x_1，x_2，…，…
2023年西班牙数学奥林匹克
公众号原标题：2023年西班牙数学奥林匹克——中文翻译第一天 一个 3× 3× 3 的正方体中由 27 个小正方体组成，每个小正方体内部都由一盏灯，每盏灯只有“开”和“关”两种状态．除最中心小正方体外，其余小正方体内都有一个开关．每次按动开关，…
函数有三个零点——解答
题目来源：对任意的 θ∈(0,π)，证明：函数 F(x)=(x^3-3x)sinθ+(3x^2-1)cosθ 在 (-∞,+∞) 上都有三个零点． 证明：若 cos θ=0，则 F(x)=±(x^3-4x)，…
三道ARO地区轮不等式问题的解答
感谢王卫华老师翻译了2023年俄罗斯数学奥林匹克——地区轮的题目，简单做了一下三道不等式题目
2023年孟加拉国数学奥林匹克
公众号原标题：2023年孟加拉国数学奥林匹克——中文翻译初级组 求所有非负整数 (x,y)，使得 x!+2^y=(x+1)! 点 A、B、C 在同一条直线上顺次排列，以 AB 为直径作半圆 ω_1，以 AC 为直径作半圆 ω_2，…
三次方程根的分布
公众号原标题：【习题研讨】三次方程根的分布a，b，c 为给定实数，求证：4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c 在 (1/6,5/6) 上至少有一个根． 注：本题为一道经典高数题的加强，…
2016年浙江高考第8题的分析
昨天宋老师分享了2016年的浙江高考的第8题，这里分享一下我的做法． 已知实数 a，b，c ． A 若 |a^2+b+c|+|a+b^2+c|≤ 1，…
利用欧拉分解公式解RMM第一题
2023年罗马尼亚大师赛第一天第1题如下：求所有质数 p 和正整数 x，y，使得 x^3+y^3=p(xy+p). 看到这题的立方和形式，…
尝试用ChatGPT翻译数学竞赛试题
最近ChatGPT大火，考虑了下能给我的工作带来怎样的改变。很多人都测试过让ChatGPT做数学题，效果不是很好，于是今天我来试试让它做翻译的工作。题目为2023年至愚几何奥林匹克（aops上的一个几何模拟赛SAGF）。…
四省联考第16题分析
公众号原标题：【Lights out】四省联考第16题分析昨天的四省联考题目在网上引起了热议。引用韩涛老师在朋友圈发的一段话进行总结：刚考完的高三四省联考，哀鸿遍野。主要是这是教育部考试中心直接命题，看来命题的确朝着我之前预测的方向进行。…
2023年希腊数学奥林匹克
公众号原标题：2023年希腊数学奥林匹克——中文翻译初中组 求所有满足以下方程组的三元实数组 (a,b,c)：a+b+c=0 ab^3+bc^3+ca^3=0 在 △ ABC 中，M、N 分别为 AB、AC 的中点．线段 BN 上两点 D、E 满足 CD//ME，…
2023年泰国在线数学奥林匹克
公众号原标题：2023年泰国在线数学奥林匹克——中文翻译第一天 n 为正整数，高师傅有 n 种不同口味的冰激凌，每种口味有一个大杯装和一个小杯装．他把 2n 个冰激凌杯摆成两行，每行的 n 个冰激淋杯在同一个托盘上．高师傅希望托盘是彩色的，…
2023年日本初中数学奥林匹克（决赛）
公众号原标题：2023年日本初中数学奥林匹克（决赛）——中文翻译在锐角 △ ABC 中，AB< BC，AC< BC，Γ 为其外接圆．设 Γ_1 和 Γ_2 分别为以 B、C 为圆心，…
2023TMO代数题解答
感谢王卫华老师翻译了 2023台湾数学奥林匹克（TMO）试题，这里给出第四题的证明． 题目：m 为正整数，实数 a_1，a_2，…，…
加拿大CRUX杂志问题4801-4810
公众号原标题：加拿大CRUX杂志问题4801-4810——中文翻译4801. 求所有函数 f：(0,∞)，使得对任意 x,y>0，都有 f(x+1/y)=yf(xy+y). 4802. 假设一个班级有 2n 个学生，每个人开始时都有一定数量的糖果，…
用万能公式代换解一道网红试题
九章Vector公众号上发了一道网红试题，我也用代数方法来做一下。 网红试题@10几年前的一道题 问题：在 △ ABC 中，…
Mathematical Reflections 2023年第一期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2023年第一期征解题——中文翻译Junior Problems J613. 求所有整数 n≥ 2，使得 n-1 和 n^2+1 均能整除 n^4+2039 ． J614. 正实数 a，b，…
北京大学2023年“物理学科卓越人才培养计划”数学试题解答
已知 n 个整数 x_1，x_2，…，x_n 使 x_1^3+x_2^3+…+x_n^3=2008，求 n 的最小值． 解答：2008 不为完全立方数，故 n≠ 1 ． 若 n=2，则存在整数 a，b，…
加拿大CRUX杂志问题4791-4800
公众号原标题：加拿大CRUX杂志问题4791-4800——中文翻译4791. v_1，…，v_n 均为 C^n 中的单位向量．求证：如果在 C^n 中所有的单位向量中，u 能使得 ∏_(i=1)^n|v_i· u| 取得最大值，则对任意 i，…
2023跨年题的解答
原文链接：【新年快乐！】一道有趣的计数问题 题目：用由 3 个小方格组成的L形（可旋转）和 1× 1 的小方格不重叠地覆盖 4× 4 的正方形棋盘，…
