初级组

J553． 求方程

J554． 正实数，，满足．求证：

J555． 实数，，满足

求证：，并说明等号何时成立．

J556． 的外接圆为，外心为．过点和点作的切线交于点，交于点．过作的平行线交于点．求证：平分边．

J557． 平行四边形中，且．记，，分别为在，，上的射影．为对角线和的交点．求证：，，，四点共圆．

J558． 在凸五边形中，，，．已知，，求五边形的面积．

高级组

S553． 求方程

S554． 正实数，，，，，满足

求证：

S555． 为不等边三角形．在外部分别构造等腰三角形，，，使得，．已知，，三线共点，求．

S556． 正实数，，满足．求

S557． 正实数，，满足．求证：

S558． 为不等边三角形，为其九点圆圆心．关于的对称点落在的外接圆上，求．

大学组

U553． 设为一个矩阵，且满足．求证：和互为逆矩阵．

U554． 计算

其中，表示的小数部分．

U555． 设为一个可微函数，且对所有都有．求

U556． 求单位正方体绕其体对角线旋转一周所得几何体的体积．

U557． 计算

U558． 对任意多项式

奥林匹克问题

O553． 满足，为的中点．圆和相切于且在的外部．过点的圆和内切，且圆心在上．圆和内切，且和线段及的延长线相切．过点作，的切线，分别和线段交于，两点．求证：内切圆半径为内切圆半径的两倍．

O554． 实数满足，且

O555． 正方形的边长为．点在外接圆的劣弧上．设，，，分别为，，，的内切圆半径．求在劣弧上运动的过程中，

O556． 设的三边长分别为，，．求证：

O557． 求

O557． 记为实数的小数部分．求证对于任意正整数，存在互不相同的有理数，使得对于任意，都有．