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数学竞赛每日一练 第16期解答
a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 的正实数．求证：(a^3+b^2)/(a^2+b^2)+(b^3+c^2)/(b^2+c^2)+(c^3+a^2)/(c^2+a^2)≥5/2…
数学竞赛每日一练 第15期解答
p 是一个素数，证明：不定方程 x^p+y^p=(3p)^p 没有 xy≠ 0 的整数解． 证明 p=2 时，由枚举法知结论显然成立． p 为奇素数时，…
数学竞赛每日一练 第22期
若 m，n 为两个互素的正整数，求最大公约数 (5^m+7^m,5^n+7^n) 的所有可能值．
数学竞赛每日一练 第21期
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值．
数学竞赛每日一练 第14期解答
已知正方形的四个顶点都在函数 y=f(x) 图象上，且函数 y=f(x) 图象上的点 (x,y) 都满足 (x^3-4x-y)^2021+x^2021+x^3-3x-y=0 则这样的正方形最多有 个． 解答 …
数学竞赛每日一练 第20期
非零实数 a，b，c 满足 {a+b,b+c,c+a}={ab,bc,ca}． 求证：{a,b,c}={a^2-2,b^2-2,c^2-2}．
2021年泛非数学奥林匹克
公众号原标题：2021年泛非数学奥林匹克——中文翻译中文翻译 第一天 n 是一个大于 3 的整数．一个边长为 n 的正方形被平行于边的直线分为 n^2 个边长为 1 的小正方形．求以这 n^2 个边长为 1 小正方形的顶点为顶点，边长均不超过 3，…
数学竞赛每日一练 第12期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r 的个数． 解答 由数列的定义可知 …
数学竞赛每日一练 第19期
a，b，c 是非零实数，求以下表达式的最小值：((a+3b)^2)/((a-b)^2)+((b+3c)^2)/((b-c)^2)+((c+3a)^2)/((c-a)^2)．
数学竞赛每日一练 第18期
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数．
数学竞赛每日一练 第11期解答
证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列． 证明 当 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列，…
数学竞赛每日一练 第17期
△ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，满足 BX=CY ． I_B 和 I_C 分别为 △ ABY 和 △ ACX 的内心，…
数学竞赛每日一练 第10期解答
n 是大于 1 的偶数，整数 1< a_1< a_2< …< a_k< n 满足 [a_i,a_j]>n 对所有 1≤ i≠ j≤ k 成立．证明 1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_k)< 3/2． 证明 …
数学竞赛每日一练 第16期
a 题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 …
数学竞赛每日一练 第9期解答
数列 {x_n} 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第8期解答
a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)． …
数学竞赛每日一练 第15期
是一个素数，证明：不定方程没有的整数解．
2021年马其顿初中数学奥林匹克
相关链接：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译 2021年马其顿初中数学奥林匹克 在今年的奥林匹克竞赛中，有一些学生是朋友（朋友关系是相互的），也有一些学生不是朋友．不论将这些学生怎样分到两个考场，…
数学竞赛每日一练 第7期解答
定义函数 f:Z，∀ x,y 有 f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)． 若 n> 0 则 f(n)> 0，并且 f(2015)· f(2016) 是完全平方数，…
数学竞赛每日一练 第6期解答
2021年马其顿数学奥林匹克。梯形中求证「EZ 与 ω 相切」与「BE 与三角形 BXY 的外接圆相切」互为充要条件——用有向角把两者一并归到弦切角定理
数学竞赛每日一练 第5期解答
2021年浙江省女奥选拔试题。数列按 x 与 n 的大小关系在 x+n 与 x−n 之间递推，求所有使 x_n=0 的下标。原文只写「简解」，这里把两条断言补齐证明，零点恰为 (5·3^(k−1)−1)/2
数学竞赛每日一练 第12期
题目来源：2017年全国高中数学联赛二试 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r …
数学竞赛每日一练 第4期解答
给定一个正整数数 n ．求证：总能选取 n 的 φ(n)+1 个约数（可以相同），使得其和恰好为 n ．（这里 φ(n) 为小于 n 且和 n 互素的正整数个数．） 解答 给出两个定义：如果正整数 n 能表示成其 …
数学竞赛每日一练 第11期
今天高考，所以发一道高考题吧。题目来源：2010年江西省高考理数第22题 证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列．
数学竞赛每日一练 第3期解答
求由 63 个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 解答 设所求的 63 个整数为 x_1，x_2，…，…
数学竞赛每日一练 第10期
题目来源：百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙（20210502期）各阶段真题速览 S6第12题 n 是大于 1 的偶数，…
数学竞赛每日一练 第9期
数列 (x_n)_(n=1)^(+∞) 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第2期解答
在 △ ABC 中，AB>AC，它的内切圆切边 BC 于点 E，连接 AE 交内切圆于点 D （不同于点 E ．在线段 AE 上取异于点 E 的一点 F，使得 CE=CF，连接 CF 并延长，…
数学竞赛每日一练 第1期解答
题目1 （2021土耳其TST）求所有的正整数 n，使得存在一组实数 x_1，x_2，…，x_n 满足，对任意 i=1,2,…,n，均有 i≤ x_i≤ 2i，…
数学竞赛每日一练 第8期
a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)．
数学竞赛每日一练 第7期
定义函数 f:Z，∀ x,y 有 f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)． 若 n> 0 则 f(n)> 0，并且 f(2015)· f(2016) 是完全平方数，…
数学竞赛每日一题 第6期
题目来源：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译 在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，且 ∠ BCD < ∠ ABC < 90^° ．设 E 为对角线 AC 和 BD 的交点． △ BEC 的外接圆 ω 在 X …
数学竞赛每日一练 第5期
题目来源：2021年浙江省女奥选拔试题 已知数列 x_0=0，x_1=1，x_(n+1)={ x_n+n ,x_n< n x_n-n ,x_n≥ n . 求数列 {x_n} 中使 x_n=0 的所有项．
2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
以下为试题 以下为解答
数学竞赛每日一练 第4期
本题来源：2021年乌克兰数学奥林匹克——中文翻译 给定一个自然数 n ．求证：总能选取 n 的 φ(n)+1 个约数（可以相同），…
数学竞赛每日一练 第3期
今天的题目来自 2021年基辅数学节——中文翻译 求由 63 个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 是否对于任意的 n≥ 2021，均存在 n 个不全相等的整数，…
数学竞赛每日一练 第2期
在 △ ABC 中，AB>AC，它的内切圆切边 BC 于点 E，连接 AE 交内切圆于点 D （不同于点 E ．在线段 AE 上取异于点 E 的一点 F，使得 CE=CF，连接 CF 并延长，…
数学竞赛每日一练 第1期
根据公众号粉丝建议，从今天开始开设数学竞赛每日一练的栏目，欢迎解答并投稿。微信号：gen951013
四面体中的钝二面角个数
题目 （2008年安徽省预赛）四面体的 6 个二面角中钝角个数最多为 ． 首先容易猜测出答案为 3，并给出一个构造如下：考虑正三棱锥 P-ABC，当点 P 足够接近平面 ABC 时，二面角 A-PB-C、B-PC-A，…
2021年浙江省预赛第9题的题目错误
2021 年浙江省预赛的第 9 题如下：题目 已知 △ ABC 三个顶点的坐标为 A(0,0)，B(7,0)，C(3,4)，过点 D(6-2√(2),3-√(2)) 的直线分别与线段 AC，AB 交于 P，…
