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高联中的“日期题”盘点

众所周知，几乎每年高联中都会出现一道数据含有考试日期的题目，这里我们对近10年A卷中的“日期题”做个盘点，仅作为娱乐。如果题目用到了数字的特殊性，会简单进行说明。…

2025年高联二试代数题的数形结合解法

下午在返校的车上突然想到的（其实是道陈题的推广，见 数形结合问题12例 中的第5题，该文章的封面图就是下面解答中的图） 联赛结束，终于有一个晚上陪女儿了，所以拖到了现在才写。 写得仓促，过程比较简略，字也有些潦草。…

2019年联赛A卷数论题的一个自然证法

题目： 设为整数，．整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有．求证：若存在整数（）使得，则． 分析： 本题常规方法为模，比较简单．这里写一个从数列通项角度考虑的方法，…

高联一试得分情况可能探究

（找不到合适的封面了，随便从相册配个图。） 今天我们来研究一下高联一试可能有多少种不同的得分，此问题本身也为一试填空难度。 已知信息： 高联一试共8个填空题，3个解答题。…

2025年MEMO团体赛第1题及解答

上午刚看到的题，感谢赵力博士的翻译。第1题比较简单，很快就做出来了，顺手写一下。 题目：（2025年MEMO团体赛第1题） Bob 有枚硬币，其面值分别为正整数 他站在一台自动售货机前，售货机提供几种糖果，…

2025年USAKNMO模拟赛

中文翻译 AoPS上的一个模拟赛，赛制同USAMO．

用圆幂定理证明一道两圆相切问题

题目： 在中，中点为，弧的中点为．为上一点，的外心为．求证：的外接圆与的\ 鸡爪圆相切． 注：事实上，本题和点无关． 一般而言，要证明两圆相切，主要分以下三步： 1. 猜切点的性质，通常为某个特殊点，…

一道来自朝鲜的离散不等式问题

之前讲过很多次这道题，今天看AoPS才发现这是2016年朝鲜的国家队选拔考试题

一道概率问题的解答

题目： 甲、乙两人进行若干次猜拳，两人约定若某次猜拳后甲累计胜过乙的次数大于猜拳次数的一半，则游戏结束，甲获胜，否则游戏继续进行. 则甲能在有限次猜拳后获胜的概率是\ \ \ \ \ \ ． 解答： …

2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题

2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题——中文翻译

《中等数学增刊》一道代数题另证

题目： 设实数满足 求的最小值． 解答： （以下用奇数代替），得，下证：． 若中有，则必有，不等式成立，下设．，则，且 由为奇数，知，不全为负，于是存在，不妨设（将全体改为，题目不变）．若存在，则不等式成立，…

小学生也能看懂的2024年IMO预选题A2解答

题目： 设是正整数，非负整数满足．求 的最小可能值． 解答： 构造数表如下： 即对任意，第行第列为，于是每个正整数在数表中恰出现一次，…

2025年德国数学奥林匹克

2025年德国数学奥林匹克——中文翻译

用线性幂差引理解2025年清华强基立体几何题

题目： 正三棱锥中，底边长为，的中点分别为，的中点为，三棱锥的外接球球心为，．则三棱锥的体积为\ \ \ \ \ \ \ \ \ ． 分析： 只需求建立等量关系，求出侧棱长即可． 核心条件为，注意是球心，…

用向量法证明近期两道平面几何二试模拟题

题目1： 在中，点分别在上，满足，且，在的同侧．为线段的中点，为线段的中点，为与的交点．求证：． 证明： 设的三边长为，面积为，．则 同理． 由知： 而 故，证毕． 注： 可以得到均平行于的内角平分线． 题目2: 如图，…

2025年新高考1卷压轴题的不求导优雅解法

题目： 若存在实数，使得对任意实数，都有 求的最小值． 解答： 一方面，不妨设．取，可得 于是． 故． 另一方面，则 即，因此满足题意． 综上，的最小值为． 单看第三问，还是很适合作为一道一试题的。…

用非正常方法带你20分钟速通广东预赛填空

周六考完当天晚上，笔者花了20分钟，用各种不严谨的“非正常方法”，完美速通了这次广东预赛的填空题，这里作个记录。 本文纯属娱乐，请勿模仿！请勿模仿！！…

简证第十届爱尖子杯二试的三元不等式

求所有的实数，使得对任意正实数，都有 解答：，得，得． 下证：时，不等式成立．注意到不等式关于为一次式，只需证明时的情形，即 由抽屉原理，三数中，必存在两数在的同侧，不妨设，于是． 故满足题意的的取值范围为．

高考经典极值点偏移问题另证——2021年新高考1卷第22题

一分钟做不等式系列（10）——2024年IFYM&2025年广州市预赛

去年龙老师翻译的时候就做了，没想到被用作了广州的预赛题。思路比较简单，就是最大值取相同的那些项是可以合并的，设出来之后配方就可以，但过程有一点难写

2025年IDMC（Iran Dragon Math Competition）

2025年IDMC（Iran Dragon Math Competition）——中文翻译

2025年尼泊尔IMO国家队选拔考试

2025年尼泊尔IMO国家队选拔考试——中文翻译

大湾区二模第11题解答之矩生成函数（MGF）

今天的大湾区二模第11题是一道新定义题目，如下： 注 这里的为随机变量的矩生成函数（Moment Generating Function，MGF），…

一道因看错题目产生的好题

2023年北方希望之星数学邀请赛第1题如下： 设正实数满足：（1）对于，有；（2）对，有．求的最大值． 本题非常简单，可设，于是，．要求的最大值． 利用局部不等式，可得，对求和即可． 可以自己思考：为什么不对求和，…

一分钟做不等式系列（9）——2025 Serbian TST for the BMO

这个比赛的中文名字太长，打个英文的吧… 题目来源： 2025巴尔干数学奥林匹克塞尔维亚代表队选拔考试 中文翻译

这道全国大学生数学竞赛的多项式题目，很适合作为一试题

题目：（2025年全国大学生数学竞赛决赛（数学类）第三题） 设实系数多项式和分别为： 已知，且对某个有，其中为组合数．证明：存在使得． 证明： 设的全体复根为． 由韦达定理： 由平均值原理：存在，使得． 由知，也为的根，…

一分钟做不等式系列（8）——2025年菲律宾MO

分享一些数字巧合

今天看到一篇比较火的文章，介绍了（是地球上的重力加速度）这个巧合的来源．见 g与π²极为接近，巧合还是必然？

2025年美国数学奥林匹克（初级组）

2025年美国数学奥林匹克（初级组）——中文翻译

既然都是隐藏思路，不如再彻底一些

早上看到的一道小题，其它解答我就不贴了。说一下我的观点： 这类题目的做法，往往需要通过待定系数或者求导，求出（或者猜出）取等条件，再进行各种“神级放缩”。…

2025年USAMO几何题证明

上课前看到数之谜上USAMO的题目出来了，看了一下几何题，很快就做出来了… 题目： 证明： 作的外心，的对径点，连接． 由为直径知． 又为垂心，故，于是共线． 由知，为直角的斜边中线，于是，即． 由知，于是，即为中点，…

温州二模多选压轴之尼姆博弈

一、游戏规则与直觉探索 假设你和朋友玩这样一个游戏： 桌上有若干堆石子，两人轮流从任意一堆拿走至少一个石子，无法操作的人判负。…

2025年上海预赛第11题的优雅三进制做法

本题也为1992年英国数学奥林匹克最后一题，我在之前的文章里写过，但当时没有仔细写三进制这个方法。今天再次看到这题，故决定再写一遍。…

2025年加拿大数学奥林匹克

2025年加拿大数学奥林匹克——中文翻译

最近两岸TST第一轮的几何题都非常简单

两道题都是不到10分钟就能做出来的信心题。快要上课了，第二题就写个“熟知”吧，其实不用伊朗反演也是不难的

昨天题目的解答

随手改编的一道新高考19题

这是今晚上课讲的一道竞赛真题，回家之后随手改编了一下，（1）（2）两问给了（3）一定的提示，所以整体难度下降不少

收集优质新高考19题

上一篇文章发出之后，很多读者在留言区讨论，也有更多读者在后台发题问我（偶尔看到会解答，但更多情况是在上课注意不到）。 这里发一篇文章专门用来收集新高考19题，希望能够帮到参加高考的同学。…

听说这道高考模拟题有二试难度？

（题源：2025届广东省二调） 在朋友圈看到有老师说：本题的第3小问如果改成求充要条件，有高联二试的难度。 不过这个是我给学生讲一试的一个题目时，都会讲到的推广。所以我认为难度也就在一试第10题左右吧。…

一分钟做不等式系列（7）——2025年波兰第二轮

不妨设b\ 1=a\ 1这一步比较关键，想到自然就完成了归纳递推