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2021年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
考试时间：2021 年 5 月 23 日 14:30-16:30 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 过抛物线 y=x^2 上两点 A(1,y_1)，…
一个三元不等式
题目1 非负实数，满足，求 的最大值． 分析1 首先当然是猜测取得最值的条件，代入几组特殊的，如、，得到原式的值依次为、．可以发现 并不是取得最值的条件． 进一步可以发现，时，、的值均为 ．于是大胆猜测，原式的最大值为，…
2021年马其顿数学奥林匹克
公众号原标题：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译数列 (a_n)^(+∞)_(n=1) 满足 a_1=1，且 a_(n+1)=1 + Σ_(k=1)^nka_k 求证：对任意 n> 1，√[n](a_n) < (n+1)/2 ． 在一个岛屿城市中，…
Mathematical Reflections 2021年第三期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2021年第三期征解题——中文翻译初级组 J553． 求方程 (x^2-2√(2)x)(x^2-2)=2021 的实数解． J554． 正实数 x，y，…
2021年广西预赛题的构造思路
2021 年广西预赛的最后一题为：题目1 某校 n 名同学通过选拔进入学校的数学讨论班．在一次讨论班上他们讨论 A、B 和 C 三个问题．已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，…
2021年北京市中学生数学竞赛高一年级试题
来源：【全网首发】2021高一数学竞赛全卷详解 2021年北京市中学生数学竞赛高一年级试题 2021 年 5 月 16 日 8:30 ~ 10:30 一、填空题（满分 40 分，每小题 8 分） A={1,2,3,4}，…
2020年阿拉伯数学奥林匹克
公众号原标题：2020年阿拉伯数学奥林匹克——中文翻译x a，y，z，t 为正实数，满足 xyzt=1 ．求证：1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)+1/(1+t)≥ 1． b 对于任意正实数 a，b，c，d，…
2021年基辅数学节
公众号原标题：2021年基辅数学节——中文翻译八年级组 求方程 (3a-bc)(3b-ac)(3c-ab)=1000 的整数解． 在一个方形网格的 11 个单元格中，…
一个n元不等式的引理
在昨天的文章中，有一道题目的等价形式如下：题目1 x，y，z，w 为非负实数，且 x+y+z+w=4 ．求证：(xyz)^(3/2)+(yzw)^(3/2)+(zwx)^(3/2)+(wxy)^(3/2)≤ 4． 将 …
几个不等式的证明
题目1 （2021年西班牙数学奥林匹克） 实数 a，b，c，d 满足 a+b+c+d=0，a^2+b^2+c^2+d^2=12 求 abcd 的最值以及取得最值时 a，b，c，d 的取值． 分析 最大值很容易得到，…
一个恒等式与一个复数不等式
首先来看一个常见的恒等变形：x+y+z+2=xyz 1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1 x+y+z+2=xyz 1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1 若将上式两端同除以 xyz …
从取石子问题到一个象棋残局
昨天做了一道取石子问题，比较有意思． 题目1 有 4 堆石子，每一堆中的石子个数分别为 3、5、7、9 ．二人轮流从中取石子，每人每次可以从某一堆中取任意枚石子（至少 1 枚），最后取完者为胜，…
一个有趣的拼图游戏——Untouchable 11
今天偶然看到一个拼图游戏：Untouchable 11．花了接近两个小时才完成，非常有意思． 下面是这个拼图游戏的出处． 规则是这样的：给定 11 块如图所示的拼图（其实就是正方体表面的全部 11 种展开图），…
韦达跳跃(Vieta Jumping)的几道例题
昨天转载有关韦达跳跃（Vieta Jumping）的几篇文章，今天再补充几道题目．
三道百子遴选考试题目及解答
在5月2日和5月3日举办的百子遴选考试中，我为S5，S8和S9、10三个级别各供了一道题．下面是这三道题目及解答．
2021年乌克兰数学奥林匹克
公众号原标题：2021年乌克兰数学奥林匹克——中文翻译十年级 第一天 Alexey和Bogdan用两堆石头进行游戏．开始时，其中一堆中有 2021 块石头，第二堆是空的．从Bogdan开始，两人轮流进行操作．每次操作时，可以从其中任意一堆中捡起偶数块石头（大于零），…
2021年美国数学奥林匹克（USAMO）
公众号原标题：2021年美国数学奥林匹克（USAMO）——中文翻译第一天 以锐角 △ ABC 三边为边向外作矩形 BCC_1B_2，CAA_1C_2 和 ABB_1A_2 ．如果 ∠ BC_1C+∠ CA_1A+∠ AB_1B=180^(°)． 求证：B_1C_2，C_1A_2，…
2021年美国初中数学奥林匹克（USAJMO）
公众号原标题：2021年美国初中数学奥林匹克（USAJMO）——中文翻译昨天发的时候，第一题的公式打错了。给大家带来了不便，敬请谅解。以后一定会仔细审查的。第一天 N 为正整数集，求所有函数 f:N，使得对于任意正整数 a 和 b，有 f(a^2+b^2)=f(a)f(b)，…
换元法证明几道不等式
2008 年IMO的第一天第 2 题第一问如下：题目1 设实数 x，y，z 都不等于 1，满足 xyz=1 ．求证：(x^2)/((x-1)^2)+(y^2)/((y-1)^2)+(z^2)/((z-1)^2)≥ 1． …
从一个集合问题的构造到有限射影平面
本文在申强老师的指导下完成，感谢强神．
2021年全俄数学奥林匹克
公众号原标题：2021年全俄数学奥林匹克——中文翻译九年级组 在圆周上给定 10000 个点，每个点用 k 种颜色之一染色，已知在任意 5 条两两相交的线段中（其端点是 10 个互不相同的点），至少有 3 条线段，…
一道初联代数题的推广
题目1 已知互不相等的实数 a，b，c 满足 a+1/b=b+1/c=c+1/a=t 则 t= ． （2012 年全国初中数学联赛） 分析 这题没什么好说的，代入消元后结合 a，b，…
三角换元法求一个二元最值
本文部分公式较长，阅读时请注意向右滑动． 题目 已知 a，b 为实数，求 ((1-a)(1-b)(1-ab))/((1+a^2)(1+b^2)) 的最值． （Mathematical Reflection O515） …
一道三元不等式及其加强
题目1 已知 a，b，c 为正实数，求证：(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥ 3(a+b+c)^2 （2013 年新疆预赛） 证明 由Cauchy不等式：(2+(a+b)^2)(c^2+2) ≥ …
数学竞赛中的俄罗斯方块——一道USAMO组合题的解答
题目 n≥ 2 为整数．有一块 n× n 的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：如果木板上有 3 个单元格组成的 L 形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，…
一道USAMO代数题的解答
题目 n≥ 4 为正整数．求如下 2n 元方程组的所有正实数解：a_1 =1/(a_(2 n))+1/(a_2), a_2 =a_1+a_3, a_3 =1/(a_2)+1/(a_4), a_4 =a_3+a_5, …
Mathematical Reflection 2021年第二期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflection 2021年第二期征解题——中文翻译初级组 J547． 求所有素数 p 使得 (2^(p+2)-1)/p 也为一个素数． J548． a，b，c，x，y 均为正实数，…
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
国家集训队一道数论型函数方程的解答
题目 求所有函数 f:Z^+^+，使得对任意正整数 m，n 满足 m≥ n，都有：f(mφ(n^3))=f(m)·φ(n^3) 其中 φ(x) 为欧拉函数． （China TST 2021, Test 2, Day 2 …
9-8恒等式与不等式
在 一道三角不等式的若干解法 一文中，我们用到了 (x+y+z)(xy+yz+zx) = (x+y)(y+z)(z+x)+xyz 这一恒等式，在某些地方，…
一道三角不等式的若干解法
题目 在非钝角三角形 △ ABC 中，求证：sin A+sin B+sin C>2． 这个不等式可以由Karamata不等式（优超不等式）直接得到，…
利用牛顿定理解一道几何题
题目 正方形 ABCD 的内切圆为 Γ ．已知 M 为线段 CD 的中点．在线段 AB 上任取一点 P≠ B ．过 M 作 DP 平行线与 Γ 再次交于点 E ．直线 CP，…
2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛
公众号原标题：2021年加拿大数学奥林匹克资格复活赛——中文翻译昨天发的第二题有一个小错误，所以删了今天重新发一遍
素数有无穷多个的17个证明（2）
9. Srinivasan的证明由Goldbach和Schorn的证明可知，如果存在无穷多个两两互素的正整数
从女儿的桌游想到的两道集合问题
晚上陪女儿玩了她喜爱的桌游Crazy Matching（疯狂对对对）．核心规则比较简单，就是找出任意两张卡片
素数有无穷多个的17个证明（1）
1. Euclid的证明 使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为 2=p_1< p_2< …< p_r，再设 P=p_1p_2… p_r+1，…
欧拉分解公式的若干应用
欧拉分解公式：a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] = (a+b+c)(a+ω …
一道数论难题的解答
题目 求所有满足 Σ_(i=1)^ni^n≡ 1(mod n) 的正整数 n ． 引理 对于质数 p，有 Σ_(i=1)^(p-1)i^n≡ { p-1, p-1| n 0, p-1∤ n . (mod p) …
Zeckendorf定理与黄金进制
Zeckendorf定理：任意一个正整数 n 都可以唯一地表示成下述形式 n=a_kF_k+a_(k-1)F_(k-1)+…+a_1F_1． 其中 F_i 为斐波那契数列（F_0=F_1=1，…
2021年科索沃数学奥林匹克
公众号原标题：2021年科索沃数学奥林匹克-中文翻译九年级组 求所有两位的自然数，使得其减去自身数码和的 倍后，所得的结果为一个素数． Dua的手中有小于 的所有正奇数，Asija的手中有小于 的所有正偶数．他们进行以下游戏：在自己的每个回合中，…
