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关于Catalan数的组合恒等式（2024年CTST第二轮第1题）
题目：对自然数 n， C_n=1/(n+1)C_(2n)^n=((2n)!)/(n!(n+1)!) 是卡塔兰数．求证：对任意自然数 m，…
2024年加拿大数学奥林匹克资格复活赛
北美学生参加加拿大数学奥林匹克的主要方法，是参加每年10月的加拿大数学公开赛 COMC，如果进入其中的前50名，即可直接入围加拿大数学奥林匹克，如果未能进入前50名，但进入了前125名，则可以参加大约2月举行的复活赛，…
2024年美国数学奥林匹克（初中组）
公众号原标题：2024年美国数学奥林匹克（初中组）——中文翻译程国根译 第一天 1. ABCD 为圆内接四边形，AB=7，CD=8 ．点 P,Q 在线段 AB 上，满足 AP=BQ=3 ．点 R,S 在线段 CD 上，…
2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式另证
高航老师在公众号上发了2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式的一个证明：二次比一次结构巧解2024年尼泊尔数学奥林匹克不等式题 事实上，…
既然命题人都出洛必达法则了，那我用积分不等式来做也不过分吧
这是前两天的金丽衢十二校二模试卷的最后一题：题干中介绍了不完全版的洛必达法则（还需要说明使用条件），第（3）问要证明的三角不等式可以先转换到区间 (0,(π)/2)，再求导证明。…
公众号三周年福利（近期赛题翻译汇总pdf版下载）
近期赛题翻译文章 （2023年5月至今） 汇总链接：2023年马其顿国家队选拔考试——中文翻译 2023年德国数学奥林匹克——中文翻译 2023年以色列复仇赛——中文翻译 2023年ELMO复仇赛——中文翻译 …
2024年澳大利亚数学奥林匹克
公众号原标题：2024年澳大利亚数学奥林匹克——中文翻译程国根 译 第一天 1. 求所有三元正整数组 (k,m,n)，使得 k!+m!=k!n!. 2. ABCD 为圆内接四边形．点 P 在直线 CB 上，满足 CP=CA，…
2024年土耳其国家队选拔考试
公众号原标题：2024年土耳其国家队选拔考试——中文翻译程国根 译 第一天 1. 在 △ ABC 中，I 为内心，O 为外心．直线 AI 和 △ ABC 的外接圆另一个交点为 P ．过 I 且垂直于 AI 的直线交 BC 于点 X，…
2024年西班牙数学奥林匹克
公众号原标题：2024年西班牙数学奥林匹克——中文翻译听说公众号文章留言区开放了，测试一下，欢迎大家在留言区讨论题目
Mathematical Reflections 2024年第二期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2024年第二期征解题——中文翻译点击阅读原文可以查看、下载原版英文题目。Mathematical Reflections 2024年第二期征解题 Junior Problems 程国根 译 J655. 求所有素数对 (p,q)，使得存在正整数 n，…
2024年罗马尼亚数学奥林匹克（地区级）
公众号原标题：2024年罗马尼亚数学奥林匹克（地区级）——中文翻译最近的题目解答主要发在了B站上，大家可以去关注一下
2024年阿贝尔数学竞赛（挪威数学奥林匹克）
公众号原标题：2024年阿贝尔数学竞赛（挪威数学奥林匹克）——中文翻译1. a. 求所有整数 n≥ 2，使得 n| s_n-t_n，其中 s_n 为区间 [1,n] 中所有与 n 互质的整数之和，t_n 为区间 [1,n] 中剩余整数之和． b. 求所有函数 f:Z，…
2024年希腊数学奥林匹克
公众号原标题：2024年希腊数学奥林匹克——中文翻译程国根 译 1. a,b,c 为实数，满足其中两数之差大于 1/(2√(2)) ．求证：存在整数 x，使得 x^2-4(a+b+c)x+12(ab+bc+ca)<0. 2. 在 △ ABC 中，AB<AC<BC，…
当斐波那契数列遇到切比雪夫多项式
龚固老师今天发了一篇文章：当斐波那契数列遇到不定方程 ． 我也凑个热闹，发个斐波那契数列与切比雪夫多项式相联系的练习题．题目比较简单，…
一个取球次数数学期望的简单求法
吴其建老师问了我这样一个问题：一个袋子中有 m （m≥ 3）个除颜色外其余无差别的小球，其中有 3 个红球，从中不放回地取出小球直到取出第二个红球为止， X 为取出的小球个数，…
2024年日本初中数学奥林匹克（决赛）
公众号原标题：2024年日本初中数学奥林匹克（决赛）——中文翻译程国根 译 1. 设正实数 a,b,c,d 满足 (ab)/(cd)=(a+b)/(c+d) ．求证: (a+b)(c+d)≥(a+c)(b+d). 2. 在 △ ABC 中, AB<AC , M 为线段 BC …
以一道预赛题为例，谈谈猜取等条件的重要性
来看一道预赛题：已知正数 a,b,c 满足：2a+4b+7c≤ 2abc，求 a+b+c 的最小值． 先写个隐藏了思路的解答：解答：设 a=3x，b=5/2y，c=2z，…
2024年巴西复仇赛
公众号原标题：2024年巴西复仇赛——中文翻译程国根 译 1. M,α,β，其中 M>0，α,β∈(0,1) ．若实数 R>1，称正实数列 {C_n}_(n≥ 0) 是 犀牛 数列，如果对任意 n≥ 1，…
Mathematical Reflections 2024 年第一期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2024 年第一期征解题——中文翻译原文：Mathematical Reflections 2024年第一期征解题 Junior Problems 程国根 译 J649. 求所有正整数 n，…
2024年英国数学奥林匹克（第二轮）
公众号原标题：2024年英国数学奥林匹克（第二轮）——中文翻译英文原文：讲解视频：（也可以点击阅读原文打开） 2024/ tex文档：2024年英国数学奥林匹克（第二轮） 程国根 译 1. 将 10/13=0.7692307692… 的十进制表示中，…
用向量外积证明九省联考第18题中的面积结论
这次九省联考的第18题（2），可以转化面积后快速做出，核心在于证明三角形 GMN 面积为四边形 ADBE 面积的 1/4 ． 这里用向量外积给出一个简洁且本质的证明． 首先简单回顾一下向量外积的定义和性质：对向量 a …
九省联考第14题的最简单做法
题目：以 max M 表示数集 M 中最大的数．设 0< a< b< c< 1，已知 b≥ 2a 或 a+b≤ 1，则 max{b-a,c-b,1-c} 的最小值为 ． 解答：（1） b≥ 2a 时，有 b-a≥ a，…
用概率告诉你怎么“蒙”多项选择题
本文仅作理论探究，请勿用于实践。新高考数学试卷的第9题至第12题为多项选择题，每小题5分，四个选项中有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。…
2023年基辅数学奥林匹克（第一轮）
公众号原标题：2023年基辅数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译程国根 译 七年级组 1. 如图所示，矩形被分割成了 6 个正方形．已知中间的灰色正方形边长为 1，求矩形的面积． 2. 任给 n≥ 3 个互异的实数，求证：其中必存在三个实数之和为正，…
2023年英国帝国理工-剑桥数学竞赛（第一轮）
公众号原标题：2023年英国帝国理工-剑桥数学竞赛（第一轮）——中文翻译ICMC 全称 Imperial Cambridge Mathematics Competition，现在的翻译是 “帝国理工 剑桥数学竞赛”。…
2024年日本数学奥林匹克预赛
公众号原标题：2024年日本数学奥林匹克预赛——中文翻译日本数学奥林匹克（JMO）分为预赛和决赛。预赛在每年的成人日（1月的第二个星期一）举行，全国前200名进入决赛，决赛日期为建国日（2月11日）． 今年的预赛于昨天（2024年1月8日）举行，共12小题，…
2024年印度EGMO代表队选拔考试不等式的解答
题目： 给定 a_1,a_2,…,a_10 是正实数，求 Σ_(i=1)^10⌊(7a_i)/(a_i+a_(i+1))⌋ 的最小值，…
2024年北大物理卓越计划第三题解答
题目：已知函数 f(x)=x^3+ax 有且只有一个内接正方形，求 a 与正方形的边长． 这题与2021年公众号上发布的 数学竞赛每日一练第21期 的题目基本一致． 但需要证明的是：若有且只有一个内接正方形，…
一个代数恒等式的命制背景
匈牙利KöMaL2023年十月征解题B5335如下：1. 正实数 x,y,z 乘积为 1，求表达式 (x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2-(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z) 的所有可能值． …
Mathematical Reflections 2023年第六期征解题
公众号原标题：Mathematical Reflections 2023年第六期征解题——中文翻译Mathematical Reflections 2023年第六期征解题——中文翻译
2023年印度NMTC初中数学竞赛
公众号原标题：2023年印度NMTC初中数学竞赛——中文翻译程国根 译 1. 求整数 m,n，使得它们的立方和等于和的平方． 2. 在锐角 △ PQR 中，高 PL 和 ∠ QRP 的角平分线 RK 交于点 H （L 在 QR 上，…
用曲线系方法解2023年ELMO预选题G7
2023年ELMO预选题G7 已知椭圆 E 的焦点为 F_1 和 F_2，P 是 E 上一点．直线 PF_1 和 PF_2 分别再次交 E 于不同的点 A 和点 B，…
解答一道较复杂的二元不等式
题目：已知正实数 a,b 满足 1/(a^2)+1/(b^2)=1/2 ．求 b/(a+1)+a/(b+1)+√(1/(a^2+b^2+1)) 的最小值． 答案：当 a=b=2 时，…
证明多项式不可约
解答学生问的一道题，之前在 26道多项式问题 中已整理过此题。证明多项式不可约 p 为素数．求证：f(x)=x^(p-1)+2x^(p-2)+…+p 在有理数域上不可约． 证明以下两个引理：若多项式 …
2023年以色列纪念Grosman数学竞赛
公众号原标题：2023年以色列纪念Grosman数学竞赛——中文翻译Grosman MO始于1961年，由Grosman教授举办，由6 7个问题组成，是以色列的两个数学竞赛之一。（另一个是以色列MO，…
2023年第35届美国数学人才选拔（第一轮）
公众号原标题：2023年第35届美国数学人才选拔（第一轮）——中文翻译2023 年第 35 届美国数学人才选拔（USAMTS）第一轮试题中文翻译。原文附有试题 PDF
难倒很多人的最值问题，其实很简单
题目（来源：难倒很多人的最值问题2） 已知 k 为正常数，a,b 为正实数，若 a+k^2b=a^2b^3，求 1/a+1/(2k^2b) 的最小值． 解答：对条件式进行变形：a+k^2b=a^2b^3 …
2023年伊比利亚美洲大学数学竞赛
公众号原标题：2023年伊比利亚美洲大学数学竞赛——中文翻译之前还翻译了 2023年伊比利亚美洲数学奥林匹克——中文翻译 2023年伊比利亚美洲大学数学竞赛（第一天） 程国根 译 1. 求所有的正实数对 (a,b)，其中 a<b，…
解高航老师分享的一道题
题目：已知 a,b， f(x)=x^4-2023x，若 a≠ b，且 f(a)=f(b)=c(c>0), 求证：-√(c)< ab< 0 ． 证明：由 f'(x)=4x^3-2023=0 有唯一实根 x_0，…
今天生日，发道简单的不等式纪念一下
问题：正实数列 {a_n} 满足对任意正整数 n，都有 a_(n+1)^2≥ (a_1^2)/(1^3)+(a_2^2)/(2^3)+…+(a_n^2)/(n^3). 求证：存在正实数 N，…
