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2021年Deux数学奥林匹克
公众号原标题：2021年Deux数学奥林匹克——中文翻译相关链接：2020DEUX数学奥林匹克 第一天 正实数 a，b，c，d 满足 a+c=b+d，且 ab=3cd ．求最大的常数 k，…
丘成桐数学零试第1题及类似一题
2021年9月4日的清华大学丘成桐数学零试第一题如下：完整试题及解析见：【修订版】丘成桐数学零试完整试题&解析发布！…
赛题翻译文章合集
以下为本公众号创立以来发的翻译文章合集（含转载） 更多赛题翻译可见：2020年翻译文章合集 2019年翻译文章合集 2021年科索沃数学奥林匹克 中文翻译 2020巴西数学奥林匹克 第二级 中文翻译 2021哈佛 …
一道IMOC不等式及加强的证明
2021年中国台湾IMOC代数组第7题如下：（全部试题见：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）） 题目：对任意满足 a^2+b^2+c^2+d^2=4 的正实数 a，b，c，d，…
一个恒等式与一个复数不等式
昨天，单墫老师在他的公众号上发了一个恒等式．\x0a我在2021年5月10日发的一篇文章中介绍了这个恒等式的由来和一个应用，以下为原文章．
2021年中国台湾IMOC（全）
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）这只是一个合集，文末有PDF版链接
2021年中国台湾IMOC——数论组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——数论组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
2021年中国台湾IMOC——组合组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
2021年中国台湾IMOC——代数组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——代数组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
一道计数小题的分析
2021年北京大学优秀中学生暑假学堂数学测试的第一题如下：求集合 {1,2,…,2021} 的非空子集中元素和为 3 的倍数的集合个数． 这是一道很陈的题了，…
2021年中国女子数学奥林匹克试题(两天全)
第一天 n 是正整数，x_1，x_2，…，x_(n+1)，p，q 是正实数，满足 p< q，且 x_(n+1)^p>x_1^p+x_2^p+…+x_n^p． 1 证明：x_(n+1)^q> …
2021年中国女子数学奥林匹克（第一天）
n^+，x_1，x_2，…，x_(n+1)，p，q^+，其中 p< q，满足 x_(n+1)^p> Σ_(i=1)^nx_i^p，求证：1 x_(n+1)^q> Σ_(i=1)^nx_i^q；…
2021年北大夏令营试题（文字版）
试题来源：小猿高中数学竞赛公众号 第一天 a_1，a_2，a_3，a_4，k 是两两不同的正整数，且不小于 80，求 (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2-4k^2)k^2 的最小值． 在 △ ABC 中，…
tkz-euclid常用作图代码分享
前段时间不少人问到LaTeX作图的教程，这里分享一下刘金波老师整理的tkz euclid的常用作图代码。（可以按照关键词搜索）更多信息参见tkz euclid的宏包文件。…
一道无理数集合问题的图论解法
公众号原标题：【教学笔记】一道无理数集合问题的图论解法今天给学生讲了一道2019年百子S8等级的考试题目． 题目：一个由实数构成的集合 M 称为“幸运集“，若它满足以下性质：对每个 x,y∈ M，x≠ y，数 x+y，xy 均不为 0，且恰好有一个是有理数；…
Mathematical Reflections 2021年第四期征解题
初级组 Junior Preblems J559． a_n=1-(2n^2)/(1+√(1+4n^4)),n=1,2,3,… 求证：√(a_1)+2√(a_2)+…+20√(a_20) 为整数． J560． a，b，…
2021年陈省身杯数学奥林匹克
本次比赛分两天进行，时间为2021年7月24日和7月25日的18:00 21:00． 第一天 已知非等腰锐角 △ ABC 的三条高线分别为 AD，BE，CF，其中，D，E，F 分别为垂足． △ AEF，△ BFD，…
一道IMO题目的经典构造
公众号原标题：【教学笔记】一道IMO题目的经典构造今天给学生讲了1977年IMO的第2题：若自然数 n 满足如下条件：存在由 n 个实数组成的数列，使得任意连续 7 项之和为负，任意连续 11 项之和为正．求 n 的最大值． 首先容易得到 n 的一个上界 77，…
一道复数求值问题的另解及推广
本文首发于公众号：平行线竞赛强基 前两天，闫老师发了如下题目：又一道复数相关的求值题 题目 a，b，c，d 是 f(x)=x^4-3x^3+2x^2+5x-4 的零点，…
证明两多项式相同的几个方法
公众号原标题：【教学笔记】证明两多项式相同的几个方法前几天讲多项式时，我问了学生一个问题：最少通过几次整数赋值，能够证明两个整系数多项式和相同？这个问题有些宽泛
一道一试模拟题的分析过程
今天，天神给我看了一道一试的模拟题，题目如下：在集合 {0,±1,±2,…,±2010} 中，能表示成 (x^3-y)/(1+xy) x,y_+，x< y 的形式的个数是 ． 开始以为这是一道无穷递降的题目，…
几道用二进制解决的数列问题
公众号原标题：【教学笔记】几道用二进制解决的数列问题这是前两天给学生讲的几道数列题：题目1 （2013年高联二试）给定正整数 u,v ．数列 {a_n} 定义如下：a_1=u+v，对整数 m≥ 1，…
卡诺定理的两个证明
公众号原标题：【教学笔记】卡诺定理的两个证明这是今天在上课时讲的一道例题． 卡诺定理 三角形外心到三边的有向距 外心在边的形内一侧的距离为正，形外为负 之和等于其外接圆与内切圆半径之和． 设三角形为 △ ABC，外心为 O，O 在 BC，CA，…
有理根判定定理的一个妙用
公众号原标题：【教学笔记】有理根判定定理的一个妙用今天在上课时给初中的学生介绍了整系数多项式的有理根判定定理：定理 p/q p/q≠ 0 是整系数多项式 f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_0 的一个有理根，…
Mason-Stothers定理解一道中科大强基中的多项式题勘误
2021年中国科技大学的最后一题如下：题目 f(x)，g(x)，h(x) 为实系数非常数多项式，且两两互素．若 (f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，…
一道清华强基不等式问题的解答和推广
2021年清华大学强基考试的第7题如下：题目1 已知 a,b,c≥ 0，a+b+c=1，求 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 的最大值． …
Mason-Stothers定理解一道中科大强基试题
2021年中国科技大学的最后一题如下：题目 f(x)，g(x)，h(x) 为实系数多项式，且两两互素．若 (f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，…
数学竞赛每日一练 第1～24期合集
今天开始上暑假课了，暑假期间比较忙，所以每日一练先告一段落。以下为目前已发的题目及解答合集。数学竞赛每日一练 第1期 数学竞赛每日一练 第1期解答 分类：不等式 数学竞赛每日一练 第2期 数学竞赛每日一练 第2期解答 …
数学竞赛每日一练 第24期解答
n≥ 2，x_1，x_2，…，x_n 为 (0,1) 内的 n 个两两不等的实数．证明：Σ_(i=1)^nΣ_(j=1)^n{x_i-x_j}^2≥((n-1)(2n-1))/6 其中 {x}=x-[x] 表示 x …
数学竞赛每日一练 第23期解答
本题为2021年浙江省高考第10题的加强 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，…
数学竞赛每日一练 第22期解答
2021.06「根源杯」初高数学衔接联考二试第四题。求两个互素指数下 5^m+7^m 与 5^n+7^n 的公约数——先证 a^d−b^d 形式的引理，答案是 2 或 12
2021年德国数学奥林匹克解答
试题见：2021德国数学奥林匹克 中文翻译 求所有实数 a，b，c，d，使得 a，b 为 2x^2-3cx+8d 的两个互异根，且 c，…
数学竞赛每日一练 第21期解答
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值． 解答 若 a≥ 0，此曲线在 x> 0 时只位于第一象限．设 y 轴右侧正方形顶点为 A，B，…
数学竞赛每日一练 第20期解答
非零实数，满足求证：证明 设于是有，．由有即．即也即，结合知故或．即也即，结合知若，则，故或．因此或
数学竞赛每日一练 第19期解答
是非零实数，求以下表达式的最小值：解答，．则即从而最后，当，时，原式取值为，故原式最小值为．
数学竞赛每日一练 第18期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数． 解答 易知 √((2n-1)/(4n^2+1))< √(1/(2n+1))< …
数学竞赛每日一练 第24期
为内的个两两不等的实数．证明：其中表示的小数部分．
数学竞赛每日一练 第17期解答
题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 另解见：李耀文——2021马其顿初中数学林匹克第5题解答 △ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，…
数学竞赛每日一练 第23期
题目来源：2021年浙江省高考第10题 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，求证：5/2< S_100< 3 ．
2021年加拿大初中数学奥林匹克
公众号原标题：2021年加拿大初中数学奥林匹克——中文翻译本次考试的第3，4，5题分别与 2021加拿大数学奥林匹克 中文翻译 中的第1，2，4题相同。 C_1 和 C_2 为同心两圆，C_1 在 C_2 内部． P_1 和 P_2 为 C_1 上的两点，…
