解题研究

2026年高联B卷几何命题思路分析：如何尺规作图作出更接近√π的长度

从 2026 年高联 B 卷一道几何题出发讲命题思路：√π 是超越数、不能精确尺规作出，于是先取优良有理逼近（355/113），再把它设计成可作的长度

用正负分离解答2026年8月谜之竞赛不等式

一道模意义下的竞赛不等式（李天勤供题）：先用构造给出上界，再按负数个数分类，用正负分离把最小值钉住

不等式证明中的图论方法：团数、谱与路径结构的应用

整理不等式证明中借图论工具的一类做法：用团数、邻接矩阵与图拉普拉斯矩阵的谱、以及路径结构刻画约束，并按归一化条件选择对应工具

加权均值视角下的三行证明——2025年高联二试不等式

题目：设 m,n,k 都是正整数，m≥ 2，且 n≥ k≥ 2，实数 x_1≥ x_2≥ …≥ x_n≥ 0，满足以下两个条件：1 x_1^m+x_2^m+…+x_n^m≥ 1；…

2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答

2026 年中国女子数学奥林匹克第一天试题的解答，含数论、几何与组合题

一道原创代数题及解答

（难度约联赛二）：命题灵感来自棋盘上互不攻击的车，问一个求和式在置换下的最小值

用向量法证明一个“七心连珠”结论

中学时代听到的一个平面几何结论「七心连珠」，用向量法给出一个简单证明

IMO 最神秘的奖项：历届特别奖解答全收录，以及它为何沉寂二十年

IMO 特别奖的资料整理：收录官方名录里的全部获奖人次，对公开资料足以复原的解答给出证明，并讨论这个奖项为何沉寂二十年

一道三元不等式的“装逼式证明”

一道三元不等式的待定系数证法，待定过程留给读者

2026年IMSC第5题解答

题目 求所有合数 n(n>1)，使得对任意正整数 d<n，若 (d,n)>1，则 n| d^n+(n-d)^((d,n)) ． 答案 n=p^α (p 为素数, 2≤ α≤ p), 或 n=pq (p,q …

用局部不等式证明一道新题

今天傍晚，吴黎老师在赛题讨论群发了一道原创新题，题目如下：设 n≥ 4，x_1,x_2,…,x_n>0，下标按模 n 循环（即 x_0=x_n，x_(n+1)=x_1）．求最大常数 k_n，…

2025年巴尔干预选题A6解答

龚老师在中写了剩余6道题目的解答，见 2025年巴尔干预选6个代数题目及解答 ．这里我把剩下一道题补上（用pqr方法也非常简单）． 题目：设正实数 a,b,c 满足 …

2026年重庆市预赛复数不等式解答

2026 年重庆市预赛复数不等式题的解答。原文附有试题 PDF

2025年高联二试代数题的数形结合解法

下午在返校的车上突然想到的（其实是道陈题的推广，见 数形结合问题12例 中的第5题，该文章的封面图就是下面解答中的图） 联赛结束，终于有一个晚上陪女儿了，所以拖到了现在才写。写得仓促，过程比较简略，字也有些潦草。…

2025年MEMO团体赛第1题及解答

上午刚看到的题，感谢赵力博士的翻译。第1题比较简单，很快就做出来了，顺手写一下。题目：（2025年MEMO团体赛第1题） Bob 有 n 枚硬币，…

用圆幂定理证明一道两圆相切问题

题目：在 △ ABC 中，BC 中点为 M，弧 BAC 的中点为 N ． L 为 CN 上一点，△ LMN 的外心为 O ．求证：△ LNO 的外接圆与 △ ABC 的 A 鸡爪圆相切． 注：事实上，…

一道概率问题的解答

题目：甲、乙两人进行若干次猜拳，两人约定若某次猜拳后甲累计胜过乙的次数大于猜拳次数的一半，则游戏结束，甲获胜，否则游戏继续进行. 则甲能在有限次猜拳后获胜的概率是＿＿＿． 解答：每次猜拳甲胜的概率为 1/3，…

小学生也能看懂的2024年IMO预选题A2解答

题目：设 n 是正整数，非负整数 x_0,x_1,…,x_n 满足 x_0+x_1+…+x_n=n ．求 S=2^0x_0^2+2^1x_1^2+…+2^nx_n^2 的最小可能值． 解答：构造数表如下：即对任意 …

用向量法证明近期两道平面几何二试模拟题

题目1：在 △ ABC 中，点 D,E,F 分别在 BC,CA,AB 上，满足 (BD)/(DC)=(AC)/(AB)，且 BE=CF，E,F 在 BC 的同侧． M 为线段 BC 的中点，N 为线段 EF 的中点，…

2025年新高考1卷压轴题的不求导优雅解法

题目：若存在实数 φ，使得对任意实数 x，都有 5cos x-cos(5x+φ)≤ b. 求 b 的最小值． 解答：一方面，不妨设 φ∈[0,2π) ．取 x=(π-φ)/6∈(-(π)/6,(π)/6]，…

大湾区二模第11题解答之矩生成函数（MGF）

今天的大湾区二模第11题是一道新定义题目，如下：注 这里的 M_X(t) 为随机变量 X 的矩生成函数（Moment Generating Function，MGF），…

既然都是隐藏思路，不如再彻底一些

早上看到的一道小题，其它解答我就不贴了。说一下我的观点：这类题目的做法，往往需要通过待定系数或者求导，求出（或者猜出）取等条件，再进行各种“神级放缩”。…

2025年USAMO几何题证明

上课前看到数之谜上USAMO的题目出来了，看了一下几何题，很快就做出来了… 题目：证明：作 (AFP) 的外心 O，A 的对径点 Q，…

昨天题目的解答

2025年罗马尼亚大师杯第1题解答

主要难度在理解概念，有点类似于2012年的联赛第3题

恒等式与不等式的证明一例

下面是一个常见的恒等变形：ab+bc+ca+2abc=1 1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=2 a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)=2 此外，若 a,b,c≥ 0，…

用余切联合定理证明第17届XMO几何题

余切联合定理：在 △ ABC 中，点 X 在边 AB 上，且 (AX)/(XB)=m/n，∠ AXC=θ ．则 (m+n)cotθ=mcot B-ncot A. 证明：过 C 作 CH⊥ AB 于点 H，…

2024年CMO第一天部分试题解答

没去现场，上课间隙码一下个人解答，第1题偷懒没写引理的证明．

用Abel变换和加强归纳解一道高联代数题

2021年高联A2卷加试第三题是一个代数最值问题，题目如下：给定整数 n≥ 2 ．设非负实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1≥ a_2≥…≥ a_n，…

用Dumpty点的性质证明一道平面几何新题

首先简单介绍Dumpty点（熟悉的读者可以直接看后面的题目）：点 P 在 △ ABC 内部，且满足 △ APB∼△ CPA，则称点 P 为 △ ABC 的 A Dumpty点，…

2024年北大金秋营第2题不等式的证明

简单的问题，熟悉最后那个恒等式就很好做了（用复数的模长易证）．不过都4202年了还在考三元不等式，难以评价…

用张角定理证明一道几何题

国庆假期前讲的最后一题，祝大家假期快乐！

两行解答南京大学强基计划一题及类似一题

题目1：（2024年南京大学强基计划） 二次函数 f(x)=ax^2+bx+c，b>a，a,b,c，∀ x，有 f(x)≥ 0 ．求 (b-a)/(a+b+c) 的最大值． 解答：由 f(-2)=4a-2b+c≥ 0 …

用数学归纳法证明一道俄罗斯不等式

假设 0≤ x_i≤ 1，求证：∏_(i=1)^n(1-x_ix_(i+1)+x_(i+1)^2)≥ 1，其中 x_(n+1)=x_1 ． 考虑到变量之间没有联系，待证式左边为求积形式，…

用代数方法证明深圳中学二轮二阶压轴题

附参考答案：深圳中学2024届高三二轮二阶测试压轴题如下：已知曲线 y=ln x+a （a）和圆 O:x^2+y^2=r^2 （r，r>0）相交于 A,B 两个不同点，…

用向量外积证明九省联考第18题中的面积结论

这次九省联考的第18题（2），可以转化面积后快速做出，核心在于证明三角形 GMN 面积为四边形 ADBE 面积的 1/4 ． 这里用向量外积给出一个简洁且本质的证明． 首先简单回顾一下向量外积的定义和性质：对向量 a …

2024年印度EGMO代表队选拔考试不等式的解答

题目： 给定 a_1,a_2,…,a_10 是正实数，求 Σ_(i=1)^10⌊(7a_i)/(a_i+a_(i+1))⌋ 的最小值，…

2024年北大物理卓越计划第三题解答

题目：已知函数 f(x)=x^3+ax 有且只有一个内接正方形，求 a 与正方形的边长． 这题与2021年公众号上发布的 数学竞赛每日一练第21期 的题目基本一致． 但需要证明的是：若有且只有一个内接正方形，…

解答一道较复杂的二元不等式

题目：已知正实数 a,b 满足 1/(a^2)+1/(b^2)=1/2 ．求 b/(a+1)+a/(b+1)+√(1/(a^2+b^2+1)) 的最小值． 答案：当 a=b=2 时，…

证明多项式不可约

解答学生问的一道题，之前在 26道多项式问题 中已整理过此题。证明多项式不可约 设 p 为素数．求证：f(x)=x^(p-1)+2x^(p-2)+…+p 在有理数域上不可约． 证明以下两个引理：若多项式 …