解题研究
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2022年IMO预选题A5另解（其实更像组合题）
1. （2022年IMO预选题A5） 求所有的整数 n≥ 2，使得存在正实数 a_1<a_2<…<a_n 和正实数 r，…
证明n倍角的余弦值不可能为单位分数
1. 已知 p 为奇素数，α∈[0,(π)/2]，满足 cosα=1/p ．求证：对任意大于 1 的整数 n，均不存在正整数 m，使得 cos nα=1/m ． 假设结论不成立，即存在正整数 n>1 和 m，…
2023年温州摇篮杯压轴不等式解答
上午有老师问了一道不等式，是今年温州摇篮杯的最后一题，但一般形式更早是在2006年伊朗TST中出现的这里写个解答． 题目：设实数 x_1≤ x_2≤…≤ x_5，…
2023年IMO第一天试题解答
第1题 设 1=d_1< d_2< …< d_k=n 是合数 n 的全部正因数，若对任意 1≤ i≤ k-2，均有 d_i| d_(i+1)+d_(i+2)，…
2023年莫斯科数学奥林匹克砝码题解答
感谢苏淳教授的翻译，这里写一下十一年级组最后两题我的解答。今有一架绝对精准的双盘天平和 50 个砝码，这些砝码的重量分别为 arctan 1 , arctan1/2 , arctan1/3 , … , …
一道2023年北大强基离散最值问题的解答
正整数 x_1,x_2,…,x_9 满足：x_1< x_2< …< x_9；x_1+x_2+…+x_9=220 ． 当 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 取得最大值时，求 x_9-x_1 的最大值． 这是一道陈题，…
2023年四川预赛第8题解答
这道题最近很火，不少粉丝让我写个解答。题目：（2023年四川预赛第8题） 设 A,B,C 是 △ ABC 的三个内角，…
两道高联模拟卷中的离散不等式解答
以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答． 已知 a_1,a_2,…,a_10 为整数，且满足 Σ_(k=1)^10ka_k=2023，…
2023年中科大创新班初试数学试题解答
复数 z 满足 z^2023-z-1=0，求证：|z|≤ 1 当且仅当 (z)≤-1/2 ． 证明：由题意知：z^2023=z+1，…
用Binet-Cauchy公式证明一道不等式
Binet Cauchy（比内 柯西）公式 1 现在我们用Binet Cauchy公式证明一道不等式：题目：正整数 n≥ 4，…
2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答
2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：给定实数 a∈(0,1) ．今知正数 x_0,x_1,…,x_n 满足条件 x_0+x_1+…+x_n=n+a 和 …
第十二届XMO不等式的推广及证明
第十二届XMO的二试第二题如下：已知 a_1,a_2,…,a_22∈[1,2]，求 (Σ_(i=1)^22a_ia_(i+1))/((Σ_(i=1)^22a_i)^2) 的最大值．（其中 a_23=a_1） …
2023年韩国数学奥林匹克决赛第6题不等式证明
对正整数 n≥ 3 和实数 a_1，…，a_n，b_1，…，b_n，求证：Σ_(i=1)^n a_i(b_i-b_(i+3))≤(3n)/8Σ_(i=1)^n((a_i-a_(i+1))^2+(b_i-b_(i+1))^…
2023年上海市高三数学竞赛试题解答
若不等式 log_a x>tan x （a>0 , a≠ 1）对任意 x∈(0,(π)/4) 均成立，则实数 a 的取值范围是＿＿＿． 答案：[(π)/4,1) 将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为 2，…
函数有三个零点——解答
题目来源：对任意的 θ∈(0,π)，证明：函数 F(x)=(x^3-3x)sinθ+(3x^2-1)cosθ 在 (-∞,+∞) 上都有三个零点． 证明：若 cos θ=0，则 F(x)=±(x^3-4x)，…
三道ARO地区轮不等式问题的解答
感谢王卫华老师翻译了2023年俄罗斯数学奥林匹克——地区轮的题目，简单做了一下三道不等式题目
2023TMO代数题解答
感谢王卫华老师翻译了 2023台湾数学奥林匹克（TMO）试题，这里给出第四题的证明． 题目：m 为正整数，实数 a_1，a_2，…，…
北京大学2023年“物理学科卓越人才培养计划”数学试题解答
已知 n 个整数 x_1，x_2，…，x_n 使 x_1^3+x_2^3+…+x_n^3=2008，求 n 的最小值． 解答：2008 不为完全立方数，故 n≠ 1 ． 若 n=2，则存在整数 a，b，…
2023跨年题的解答
原文链接：【新年快乐！】一道有趣的计数问题 题目：用由 3 个小方格组成的L形（可旋转）和 1× 1 的小方格不重叠地覆盖 4× 4 的正方形棋盘，…
牛顿不等式的初等证明
在 《麦克劳林不等式的初等证明》 一文中，龚固老师用数学归纳法给出了麦克劳林不等式的一个初等证明。这里我也尝试用数学归纳法来证明牛顿不等式
2022年高联A2卷一试非官方解答
今天看到题目之后就马上给学生讲了一试，这里对上课的解答做个整理．
2023年英国数学奥林匹克（第一轮）——视频解答
公众号原标题：2023年英国数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译及视频解答一条路上有编号为 1 ~ n 的房子，其中 n 为三位数．其中恰有 1/k 个编号首位为 2，k 为正整数．求 n 的所有可能值． 正整数列 {a_n} 满足 a_1=a，a_2=b ．且对所有正整数 n，…
一道不等式的若干推广
《命题人讲座——代数不等式》中有一道例题：正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3 ．证明：1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)≥ a^2+b^2+c^2. 该不等式可加强为：正实数 a，b，…
用极坐标解答一道圆锥曲线题
近日，有学生问了我一道题：A、B 在椭圆上，且 AB 过椭圆左焦点 F，过 A、B 作椭圆切线交于点 C ．若 |AC|=|AB|，求椭圆离心率的取值范围． 这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，…
用极坐标解答一道圆锥曲线题
近日，有学生问了我一道题：A、B 在椭圆上，且 AB 过椭圆左焦点 F，过 A、B 作椭圆切线交于点 C ．若 |AC|=|AB|，求椭圆离心率的取值范围． 这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，…
一道一试函数值域问题的不同解法
2001年全国高中数学联合竞赛一试第11题如下：函数 y=x+√(x^2-3x+2) 的值域为＿＿＿． 答案：[1,3/2)∪[2,+∞) 方法一：y=x+√(x^2-3x+2) ⇒√(x^2-3x+2)=y-x≥ 0 …
利用Schur不等式的一个加强证明Iran96不等式
求最大的正实数 k，使得对任意 a，b，c≥ 0，都有 Σ a(a-b)(a-c)≥ k((a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2)/((a+b)(b+c)(c+a)). 证明：令 c=0 …
嵌入不等式的n元推广
x_k≥ 0，1≤ k≤ n，x_(n+1)=x_1，α_k∈(0,π) 且 Σ_(k=1)^nα_k=π，则 cos(π)/nΣ_(k=1)^nx_k^2≥Σ_(k=1)^nx_kx_(k+1)cosα_k 特别地，…
一道预赛不等式题的初等解法
已知 f(x,y)=x^3+y^3+x^2y+xy^2-3(x^2+y^2+xy)+3(x+y)，且 x,y≥ 1/2，求 f(x,y) 的最小值． （2011年河北省预赛） 这道预赛题的背景比较明显，…
用调整法证明2022年CGMO第8题
前言：写完后发现和AoPS上已有的一个解答非常相似，就不标原创了。2022年中国女子数学奥林匹克第八题如下：设 x_1，x_2，…，x_11 是非负实数，且总和等于 1 ．对 i=1，2，…，11，…
2022年新疆预赛不等式的证明
题目 若 2023 个实数 x_1，x_2，…，x_2023 满足 x_1^2+x_2^2+…+x_2023^2=1，…
两道不等式问题的解答
正实数 a，b，c 满足 ab+bc+ca=3，求证：(bc)/(1+a^4)+(ca)/(1+b^4)+(ab)/(1+c^4)≥3/2. 2022年菲律宾数学奥林匹克第二天第3题 证明：注意到 …
20道用阿贝尔变换证明的不等式
阿贝尔分部求和公式：令 S_0=0，S_k=Σ_(i=1)^ka_i （1≤ k≤ n），则 Σ_(k=1)^n a_k b_k=Σ_(k=1)^(n-1) S_k(b_k-b_(k+1))+b_n S_n． …
16道用数学归纳法证明的不等式
用数学归纳法证明下列不等式：（柯西不等式）设 a_1,a_2,…,a_n 和 b_1,b_2,…,b_n 是两个实数列，…
2021年广西预赛题的构造思路
2021 年广西预赛的最后一题为：题目1 某校 n 名同学通过选拔进入学校的数学讨论班．在一次讨论班上他们讨论 A、B 和 C 三个问题．已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，…
单墫教授一道不等式的另证及推广
近段时间没怎么做题，今晚翻看各公众号的题目，发现单墫教授发的一道不等式难题：设 a，b，c> 0，a+b+c=ab+bc+ca ．求证：√(ab)+√(bc)+√(ca)≥ 2+√(abc)． 不少老师给出了证明，…
一道IMOC不等式及加强的证明
2021年中国台湾IMOC代数组第7题如下：（全部试题见：2021年中国台湾IMOC中文翻译（全）） 题目：对任意满足 a^2+b^2+c^2+d^2=4 的正实数 a，b，c，d，…
一道无理数集合问题的图论解法
公众号原标题：【教学笔记】一道无理数集合问题的图论解法今天给学生讲了一道2019年百子S8等级的考试题目． 题目：一个由实数构成的集合 M 称为“幸运集“，若它满足以下性质：对每个 x,y∈ M，x≠ y，数 x+y，xy 均不为 0，且恰好有一个是有理数；…
一道复数求值问题的另解及推广
本文首发于公众号：平行线竞赛强基 前两天，闫老师发了如下题目：又一道复数相关的求值题 题目 设 a，b，c，d 是 f(x)=x^4-3x^3+2x^2+5x-4 的零点，…
证明两多项式相同的几个方法
公众号原标题：【教学笔记】证明两多项式相同的几个方法前几天讲多项式时，我问了学生一个问题：最少通过几次整数赋值，能够证明两个整系数多项式和相同？这个问题有些宽泛
