解题研究
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卡诺定理的两个证明
公众号原标题：【教学笔记】卡诺定理的两个证明这是今天在上课时讲的一道例题． 卡诺定理 三角形外心到三边的有向距 外心在边的形内一侧的距离为正，形外为负 之和等于其外接圆与内切圆半径之和． 设三角形为 △ ABC，外心为 O，O 在 BC，CA，…
一道清华强基不等式问题的解答和推广
2021年清华大学强基考试的第7题如下：题目1 已知 a,b,c≥ 0，a+b+c=1，求 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 的最大值． …
数学竞赛每日一练 第24期解答
设 n≥ 2，x_1，x_2，…，x_n 为 (0,1) 内的 n 个两两不等的实数．证明：Σ_(i=1)^nΣ_(j=1)^n{x_i-x_j}^2≥((n-1)(2n-1))/6 其中 {x}=x-[x] 表示 x …
数学竞赛每日一练 第23期解答
本题为2021年浙江省高考第10题的加强 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，…
数学竞赛每日一练 第22期解答
2021.06「根源杯」初高数学衔接联考二试第四题。求两个互素指数下 5^m+7^m 与 5^n+7^n 的公约数——先证 a^d−b^d 形式的引理，答案是 2 或 12
2021年德国数学奥林匹克解答
试题见：2021德国数学奥林匹克 中文翻译 求所有实数 a，b，c，d，使得 a，b 为 2x^2-3cx+8d 的两个互异根，且 c，…
数学竞赛每日一练 第21期解答
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值． 解答 若 a≥ 0，此曲线在 x> 0 时只位于第一象限．设 y 轴右侧正方形顶点为 A，B，…
数学竞赛每日一练 第20期解答
非零实数 a，b，c 满足 {a+b,b+c,c+a}={ab,bc,ca}． 求证：{a,b,c}={a^2-2,b^2-2,c^2-2}． 证明 设 f(x)= (x-a)(x-b)(x-c) = …
数学竞赛每日一练 第19期解答
设 a，b，c 是非零实数，求以下表达式的最小值：((a+3b)^2)/((a-b)^2)+((b+3c)^2)/((b-c)^2)+((c+3a)^2)/((c-a)^2)． 解答 设 x=(a+3b)/(a-b)，…
数学竞赛每日一练 第18期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数． 解答 易知 √((2n-1)/(4n^2+1))< √(1/(2n+1))< …
数学竞赛每日一练 第17期解答
题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 另解见：李耀文——2021马其顿初中数学林匹克第5题解答 设 △ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，…
数学竞赛每日一练 第16期解答
a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 的正实数．求证：(a^3+b^2)/(a^2+b^2)+(b^3+c^2)/(b^2+c^2)+(c^3+a^2)/(c^2+a^2)≥5/2…
数学竞赛每日一练 第15期解答
p 是一个素数，证明：不定方程 x^p+y^p=(3p)^p 没有 xy≠ 0 的整数解． 证明 p=2 时，由枚举法知结论显然成立． p 为奇素数时，…
数学竞赛每日一练 第14期解答
已知正方形的四个顶点都在函数 y=f(x) 图象上，且函数 y=f(x) 图象上的点 (x,y) 都满足 (x^3-4x-y)^2021+x^2021+x^3-3x-y=0 则这样的正方形最多有＿＿＿个． 解答 设 …
数学竞赛每日一练 第12期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r 的个数． 解答 由数列的定义可知 …
数学竞赛每日一练 第11期解答
证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列． 证明 当 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列，…
数学竞赛每日一练 第10期解答
设 n 是大于 1 的偶数，整数 1< a_1< a_2< …< a_k< n 满足 [a_i,a_j]>n 对所有 1≤ i≠ j≤ k 成立．证明 1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_k)< 3/2． …
数学竞赛每日一练 第9期解答
数列 {x_n} 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第8期解答
设 a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)． …
数学竞赛每日一练 第7期解答
定义函数 f:Z，∀ x,y 有 f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)． 若 n> 0 则 f(n)> 0，并且 f(2015)· f(2016) 是完全平方数，…
数学竞赛每日一练 第6期解答
2021年马其顿数学奥林匹克。梯形中求证「EZ 与 ω 相切」与「BE 与三角形 BXY 的外接圆相切」互为充要条件——用有向角把两者一并归到弦切角定理
数学竞赛每日一练 第5期解答
2021年浙江省女奥选拔试题。数列按 x 与 n 的大小关系在 x+n 与 x−n 之间递推，求所有使 x_n=0 的下标。原文只写「简解」，这里把两条断言补齐证明，零点恰为 (5·3^(k−1)−1)/2
数学竞赛每日一练 第4期解答
给定一个正整数数 n ．求证：总能选取 n 的 φ(n)+1 个约数（可以相同），使得其和恰好为 n ．（这里 φ(n) 为小于 n 且和 n 互素的正整数个数．） 解答 给出两个定义：如果正整数 n 能表示成其 …
数学竞赛每日一练 第3期解答
求由 63 个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 解答 设所求的 63 个整数为 x_1，x_2，…，…
数学竞赛每日一练 第2期解答
在 △ ABC 中，AB>AC，它的内切圆切边 BC 于点 E，连接 AE 交内切圆于点 D （不同于点 E ．在线段 AE 上取异于点 E 的一点 F，使得 CE=CF，连接 CF 并延长，…
数学竞赛每日一练 第1期解答
题目1 （2021土耳其TST）求所有的正整数 n，使得存在一组实数 x_1，x_2，…，x_n 满足，对任意 i=1,2,…,n，均有 i≤ x_i≤ 2i，…
2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
以下为试题 以下为解答
2021年广西预赛题的构造思路
2021 年广西预赛的最后一题为：题目1 某校 n 名同学通过选拔进入学校的数学讨论班．在一次讨论班上他们讨论 A、B 和 C 三个问题．已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，…
几个不等式的证明
题目1 （2021年西班牙数学奥林匹克） 实数 a，b，c，d 满足 a+b+c+d=0，a^2+b^2+c^2+d^2=12 求 abcd 的最值以及取得最值时 a，b，c，d 的取值． 分析 最大值很容易得到，…
三道百子遴选考试题目及解答
在5月2日和5月3日举办的百子遴选考试中，我为S5，S8和S9、10三个级别各供了一道题．下面是这三道题目及解答．
换元法证明几道不等式
2008 年IMO的第一天第 2 题第一问如下：题目1 设实数 x，y，z 都不等于 1，满足 xyz=1 ．求证：(x^2)/((x-1)^2)+(y^2)/((y-1)^2)+(z^2)/((z-1)^2)≥ 1． …
一道初联代数题的推广
题目1 已知互不相等的实数 a，b，c 满足 a+1/b=b+1/c=c+1/a=t 则 t= ＿＿＿． （2012 年全国初中数学联赛） 分析 这题没什么好说的，代入消元后结合 a，b，…
一道三元不等式及其加强
题目1 已知 a，b，c 为正实数，求证：(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥ 3(a+b+c)^2 （2013 年新疆预赛） 证明 由Cauchy不等式：(2+(a+b)^2)(c^2+2) ≥ …
数学竞赛中的俄罗斯方块——一道USAMO组合题的解答
题目 n≥ 2 为整数．有一块 n× n 的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：如果木板上有 3 个单元格组成的 L 形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，…
一道USAMO代数题的解答
题目 n≥ 4 为正整数．求如下 2n 元方程组的所有正实数解：a_1 =1/(a_(2 n))+1/(a_2), a_2 =a_1+a_3, a_3 =1/(a_2)+1/(a_4), a_4 =a_3+a_5, …
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
国家集训队一道数论型函数方程的解答
题目 求所有函数 f:Z^+^+，使得对任意正整数 m，n 满足 m≥ n，都有：f(mφ(n^3))=f(m)·φ(n^3) 其中 φ(x) 为欧拉函数． （China TST 2021, Test 2, Day 2 …
一道三角不等式的若干解法
题目 在非钝角三角形 △ ABC 中，求证：sin A+sin B+sin C>2． 这个不等式可以由Karamata不等式（优超不等式）直接得到，…
素数有无穷多个的17个证明（2）
9. Srinivasan的证明由Goldbach和Schorn的证明可知，如果存在无穷多个两两互素的正整数
素数有无穷多个的17个证明（1）
1. Euclid的证明 使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为 2=p_1< p_2< …< p_r，再设 P=p_1p_2… p_r+1，…
